Norm und Spur eines Min.Pol. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei L=K(x) endliche Erweiterung, [mm] minPol_{K}(x)=T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+...+a_{1}T+a_{0}. [/mm] Dann ist 1, x, [mm] x^2, [/mm] ... [mm] x^{n-1} [/mm] eine Basis des K-VR L. Bzgl. dieser Basis hat [mm] l_{x} [/mm] in [mm] End_{K}(L) [/mm] die Matrixdarstellung:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} } [/mm] |
"Aufgabe" trifft es nicht so ganz – es handelt sich vielmehr um einen Teil des Skripts, den ich nicht ganz nachvollziehen kann. [mm] l_{x} [/mm] ist eine lineare Abbildung, die allen y [mm] \in [/mm] L ihr Bild x*y [mm] \in [/mm] L zuordnet. Warum sieht die darst. Matrix so aus? Die bedeutet doch, dass das Basiselement 1 z.B. auf x geht (logisch), [mm] x^{n-1} [/mm] geht auf [mm] x^{n}, [/mm] aber warum geht dann [mm] x^{n} [/mm] auf [mm] -a_{0}-a_{1}x-a_{2}x^2 [/mm] ... ? Ok, das ist das Minimalpolynom, d.h. es ist gleich 0. Aber warum stehen dann in der letzten Spalte nicht einfach nur Nullen?
Danke schon mal für etwaige Hilfe! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Fr 05.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
(*) [mm] $l_x^{n}+a_{n-1}l_x^{n-1}+...+a_{1}l^1_x+a_{0}l_x^0 [/mm] =0 $
Weiter ist [mm] $l_x^k(1)= x^k$ [/mm] für k=0, 1, .., n.
Damit folgt aus (*):
[mm] $l(x^{n-1}) [/mm] = [mm] x^n= l_x^n(1)= -(a_{n-1}l_x^{n-1}(1)+...+a_{1}l^1_x(1)+a_{0}l_x^0(1))= -(a_{n-1}x^{n-1}+ [/mm] ...+a_1x+a_01)$
FRED
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