www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Norm ja oder nein?
Norm ja oder nein? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Norm ja oder nein?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei $p [mm] \in [/mm] ]0, 1[$. Wird durch [mm] $||\cdot||_*$ [/mm] mit $||(x,y)||_* := [mm] (|x|^p [/mm] + [mm] |y|^p)^{\frac{1}{p}}$ [/mm] eine Norm auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] definiert?

Hallo,
hier stehe ich komplett auf dem Schlauch, und zwar wieder was die Dreiecksungleichung angeht. Zeige, dass gilt

[mm] $\wurzel[p]{(|v+x|^p + |w+y|^p)} \le \wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)}$ [/mm]

Jetzt fällt mir natürlich noch ein, dass ich das noch in die p-te Potenz setzen ...

[mm] (|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p) \le (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})^p$ [/mm]

... und davon $ln$ "ziehen" kann ...

[mm] ln((|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p)) \le [/mm] p ln [mm] (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})$ [/mm]

...aber ich sehe leider nicht, wie mich das weiterbringt.

Wäre für Lösungsansätze sehr dankbar!

VG,
Martin

        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Fr 02.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt entweder die Minkowski-Ungleichung oder die Hölder-Ungleichung.

Nachschlagen, antworten, dann sehen wir weiter…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Norm ja oder nein?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980


> Hiho,
>  
> das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt
> entweder die Minkowski-Ungleichung oder die
> Hölder-Ungleichung.

Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:

[mm] $\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} [/mm] + [mm] \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}$ [/mm]

Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:
>  
> [mm]\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} + \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}[/mm]

Das ist nur der Fall $p=2$.
Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle $p [mm] \ge [/mm] 1$ und entspricht damit der von dir gesuchten Dreiecksungleichung.
  

> Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?

Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern für beliebiges $p [mm] \ge [/mm] 1$

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Norm ja oder nein?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Sa 03.04.2021
Autor: sancho1980

Hallo,

>  Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> und entspricht damit der von dir gesuchten
> Dreiecksungleichung.
>    
> > Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?
>  Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern
> für beliebiges [mm]p \ge 1[/mm]

Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm] gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?

Bezug
                                        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis
> setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der
> von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?

Gut aufgepasst! (und von mir tatsächlich übersehen, dass [mm]p \in ]0,1[[/mm] )
Die Minkowski-Ungleichung gilt nur für [mm] $p\ge [/mm] 1$ und daher ist [mm] $||x||_p$ [/mm] für [mm]p \in ]0,1[[/mm] tatsächlich keine Norm.

Heißt für dich aber einfach: Finde [mm]p \in ]0,1[[/mm] und x,y so dass $||x + [mm] y||_p [/mm] > [mm] ||x||_p [/mm]  + [mm] ||y||_p$ [/mm] und du bist fertig.

Gruß,
Gono


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]