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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 So 02.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Man zeige: Ein Ring R ist genau dann noethersch in dem Sinne, dass jede aufsteigende Kette von Idealen [mm] $\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] R$ staionär wird, wenn jedes Ideal in R ein endliches Erzeugendensystem besitzt. |
Hallo,
Ich komme mit der Rückrichtung des Beweises nicht klar.
Zunächst: R noethersch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] jedes Ideal in R besitzt ein endl. ES
Ang. [mm] $\exists \mathfrak{a}$ [/mm] Ideal in R, sodass [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] kein endliches ES besitzt. Betrachte das unendliche ES [mm] $\mathfrak{a}=(a_i)_{i \in \IN}$ [/mm] (muss es das geben?). Dann erhält man die aufsteigende Kette von Idealen [mm] $(a_1) \subset (a_1,a_2) \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] R$. Diese wird nicht stationär, sonst gäbe es ein $n [mm] \in \IN: (a_1,...,a_{i+1}) [/mm] = [mm] (a_1,...,a_i) \forall [/mm] i [mm] \geq [/mm] n$ und damit wäre [mm] $\mathfrak{a}=\bigcap_{i=1}(a_1,...,a_i) [/mm] = [mm] (a_1,...,a_n)$ [/mm] endlich erzeugt.
Ist das so richtig?
Nun: Jedes Ideal in R ist endlich erzeugt [mm] $\Rightarrow$ [/mm] R noethersch
Wir betrachten die aufsteigende Kette von Idealen [mm] $\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] R$ und wollen zeigen, dass diese stationär wird. Hier fehlt mir ein Ansatz.
Eine Idee, die ich noch hatte, die mich aber auch nicht so recht weiter bringt ist [mm] $\mathfrak{a}:=\bigcap_{i=1}\mathfrak{a_i}$ [/mm] zu betrachten. dieses Ideal muss auch wieder endlich erzeugt sein. Aber kann ich daraus schließen, dass die darin enthaltenen Ideale endlich erzeugt sind? Oder muss ich ganz anders ran gehen?
Vielen Dank für eure Hilfe und viele Grüße,
Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige: Ein Ring R ist genau dann noethersch in dem
> Sinne, dass jede aufsteigende Kette von Idealen
> [mm]\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset ... \subset R[/mm]
> staionär wird, wenn jedes Ideal in R ein endliches
> Erzeugendensystem besitzt.
> Hallo,
>
> Ich komme mit der Rückrichtung des Beweises nicht klar.
>
> Zunächst: R noethersch [mm]\Rightarrow[/mm] jedes Ideal in R
> besitzt ein endl. ES
> Ang. [mm]\exists \mathfrak{a}[/mm] Ideal in R, sodass [mm]\mathfrak{a}[/mm]
> kein endliches ES besitzt. Betrachte das unendliche ES
> [mm]\mathfrak{a}=(a_i)_{i \in \IN}[/mm] (muss es das geben?).
Um genau zu sein: nein. Es kann auch nur ein ueberabzaehlbares geben. Allerdings kannst du dann eine abzaehlbare Teilmenge davon nehmen und das davon erzeugte Ideal anschauen; es wird mind. eine abzaehlbare Teilmenge geben, so dass das davon erzeugte Ideal nicht endlich erzeugbar ist.
Hier wurde also ein wenig geschummelt, also es fehlt eine Begruendung warum man das annehmen darf. Gehen tut es aber.
> Dann
> erhält man die aufsteigende Kette von Idealen [mm](a_1) \subset (a_1,a_2) \subset ... \subset R[/mm].
> Diese wird nicht stationär, sonst gäbe es ein [mm]n \in \IN: (a_1,...,a_{i+1}) = (a_1,...,a_i) \forall i \geq n[/mm]
> und damit wäre [mm]\mathfrak{a}=\bigcap_{i=1}(a_1,...,a_i) = (a_1,...,a_n)[/mm]
> endlich erzeugt.
Genau.
> Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (modulo der Feinheit oben  )
> Nun: Jedes Ideal in R ist endlich erzeugt [mm]\Rightarrow[/mm] R
> noethersch
> Wir betrachten die aufsteigende Kette von Idealen
> [mm]\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset ... \subset R[/mm]
> und wollen zeigen, dass diese stationär wird. Hier fehlt
> mir ein Ansatz.
> Eine Idee, die ich noch hatte, die mich aber auch nicht so
> recht weiter bringt ist
> [mm]\mathfrak{a}:=\bigcap_{i=1}\mathfrak{a_i}[/mm] zu betrachten.
Nein, schau dir [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^\infty \mathfrak{a_i}$ [/mm] an. (Nicht den Durchschnitt!)
> dieses Ideal muss auch wieder endlich erzeugt sein. Aber
> kann ich daraus schließen, dass die darin enthaltenen
> Ideale endlich erzeugt sind? Oder muss ich ganz anders ran
> gehen?
Es ist [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] (a_1, \dots, a_n)$ [/mm] fuer [mm] $a_1, \dots, a_n \in [/mm] R$. Jetzt ist [mm] $a_i \in \mathfrak{a}_{k_i}$ [/mm] mit passenden [mm] $k_i \in \IN$. [/mm] Setze $k := [mm] \max\{ k_1, \dots, k_n \}$; [/mm] dann gilt also [mm] $a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a}_k$.
[/mm]
Was bedeutet das?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 02.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, erstmal danke für deine Hilfe!
> Nein, schau dir [mm]\mathfrak{a} = \bigcup_{i=1}^\infty \mathfrak{a_i}[/mm]
> an. (Nicht den Durchschnitt!)
Die Vereiningung ist hier wieder ein Ideal, da die Ideale jeweils ineinander enthalten sind, oder? Weil das gilt ja nicht für beliebige Vereinigungen von Idealen.
>
> > dieses Ideal muss auch wieder endlich erzeugt sein. Aber
> > kann ich daraus schließen, dass die darin enthaltenen
> > Ideale endlich erzeugt sind? Oder muss ich ganz anders ran
> > gehen?
>
> Es ist [mm]\mathfrak{a} = (a_1, \dots, a_n)[/mm] fuer [mm]a_1, \dots, a_n \in R[/mm].
> Jetzt ist [mm]a_i \in \mathfrak{a}_{k_i}[/mm] mit passenden [mm]k_i \in \IN[/mm].
> Setze [mm]k := \max\{ k_1, \dots, k_n \}[/mm]; dann gilt also [mm]a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a}_k[/mm].
>
> Was bedeutet das?
Da [mm] $\mathfrak{a} [/mm] = [mm] (a_1,\dots,a_n)$ [/mm] und [mm] $a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a}_k$ [/mm] folgt: [mm] $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}_k$. [/mm] Es gilt aber auch [mm] $\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{a}_k \subset \dots \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathfrak{a}_i [/mm] = [mm] \mathfrak{a}$.
[/mm]
Damit gilt also [mm] $\mathfrak{a}_k [/mm] = [mm] \mathfrak{a}$ [/mm] und damit folgt:
[mm] $\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{a}_k [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \mathfrak{a}$
[/mm]
Damit wird die aufsteigenden Kette von Idealen stationär (spätestens an der Stelle k) und R ist damit noethersch.
Passt das?
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nein, schau dir [mm]\mathfrak{a} = \bigcup_{i=1}^\infty \mathfrak{a_i}[/mm]
> > an. (Nicht den Durchschnitt!)
>
> Die Vereiningung ist hier wieder ein Ideal, da die Ideale
> jeweils ineinander enthalten sind, oder? Weil das gilt ja
> nicht für beliebige Vereinigungen von Idealen.
Exakt. Ansonsten muesste das kein Ideal sein.
> > > dieses Ideal muss auch wieder endlich erzeugt sein. Aber
> > > kann ich daraus schließen, dass die darin enthaltenen
> > > Ideale endlich erzeugt sind? Oder muss ich ganz anders ran
> > > gehen?
> >
> > Es ist [mm]\mathfrak{a} = (a_1, \dots, a_n)[/mm] fuer [mm]a_1, \dots, a_n \in R[/mm].
> > Jetzt ist [mm]a_i \in \mathfrak{a}_{k_i}[/mm] mit passenden [mm]k_i \in \IN[/mm].
> > Setze [mm]k := \max\{ k_1, \dots, k_n \}[/mm]; dann gilt also [mm]a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a}_k[/mm].
>
> >
> > Was bedeutet das?
>
> Da [mm]\mathfrak{a} = (a_1,\dots,a_n)[/mm] und [mm]a_1, \dots, a_n \in \mathfrak{a}_k[/mm]
> folgt: [mm]\mathfrak{a} \subset \mathfrak{a}_k[/mm]. Es gilt aber
> auch [mm]\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{a}_k \subset \dots \subset \bigcup_{i=1}^{\infty}\mathfrak{a}_i = \mathfrak{a}[/mm].
>
> Damit gilt also [mm]\mathfrak{a}_k = \mathfrak{a}[/mm] und damit
> folgt:
> [mm]\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \dots \subset \mathfrak{a}_k = \dots = \mathfrak{a}[/mm]
>
> Damit wird die aufsteigenden Kette von Idealen stationär
> (spätestens an der Stelle k) und R ist damit noethersch.
> Passt das?
Genau 
LG Felix
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