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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Fr 19.10.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Sei m [mm] \in \IN, [/mm] setze [mm] H_m:=\{mz : z \in \IZ\}
[/mm]
Zu Zeigen: Für jede Untergruppe H [mm] \subset \IZ [/mm] gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] H=H_m [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir jemand hier helfen?
Habe bereits gezeigt, dass [mm] (H_m,+) [/mm] eine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ist [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN.
[/mm]
Jedoch was ich hier machen muss weiß ich leider nicht.
Kann aber nicht so kompliziert sein, komme halt nur nicht drauf.
Hoffe auf euch,
liebe Grüße, kittie
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> Sei m [mm]\in \IN,[/mm] setze [mm]H_m:=\{mz : z \in \IZ\}[/mm]
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> Zu Zeigen: Für jede Untergruppe H [mm]\subset \IZ[/mm] gibt es ein m
> [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]H=H_m[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand hier helfen?
Hallo,
in Worte übersetzt heißt das ja, daß jede Untergruppe von [mm] (\IZ,+) [/mm] aus den ganzzahligen Vielfachen irgendeiner Zahl m besteht.
> Habe bereits gezeigt, dass $ [mm] (H_m,+) [/mm] $ eine Untergruppe von $ [mm] \IZ [/mm] $ ist $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Das ist schonmal gut. Dann ist die Hälfte der Arbeit bereits getan.
Zu zeigen bleibt also:
H Untergruppe ==> es gibt ein m mit [mm] H=H_m.
[/mm]
Nimm Dir eine beliebige Untergruppe, nenne das kleinste positive Element m und zeige, daß [mm] H_m\subseteq [/mm] H ist.
Dann mußt Du noch die umgekehrte Richtung zeigen, [mm] H\subseteq H_m.
[/mm]
Nimm hierfür an, daß H ein Element enthält, welches nicht in [mm] H_m [/mm] liegt, und führe das zum Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 19.10.2007 | | Autor: | kittie |
> Zu zeigen bleibt also:
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> H Untergruppe ==> es gibt ein m mit [mm]H=H_m.[/mm]
>
> Nimm Dir eine beliebige Untergruppe, nenne das kleinste
> positive Element m und zeige, daß [mm]H_m\subseteq[/mm] H ist.
>
> Dann mußt Du noch die umgekehrte Richtung zeigen,
> [mm]H\subseteq H_m.[/mm]
>
> Nimm hierfür an, daß H ein Element enthält, welches nicht
> in [mm]H_m[/mm] liegt, und führe das zum Widerspruch.
In die Richtung habe ich auch schon gedacht, leider hackt es an der Art WIE ich das zu Zeigen/auzufreiben habe.
Wäre super wenn du das mir für die hinrichtung zeigen könntest...
liebe Grüße, kittie
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> > Zu zeigen bleibt also:
> >
> > H Untergruppe ==> es gibt ein m mit [mm]H=H_m.[/mm]
> >
> > Nimm Dir eine beliebige Untergruppe, nenne das kleinste
> > positive Element m und zeige, daß [mm]H_m\subseteq[/mm] H ist.
> >
> > Dann mußt Du noch die umgekehrte Richtung zeigen,
> > [mm]H\subseteq H_m.[/mm]
> >
> > Nimm hierfür an, daß H ein Element enthält, welches nicht
> > in [mm]H_m[/mm] liegt, und führe das zum Widerspruch.
>
> In die Richtung habe ich auch schon gedacht, leider hackt
> es an der Art WIE ich das zu Zeigen/auzufreiben habe.
> Wäre super wenn du das mir für die hinrichtung zeigen
> könntest...
Hallo,
[mm] H_m \subseteq [/mm] H düfte ja nicht das Problem sein, vermute ich.
Es geht um [mm] H\subseteq H_m, [/mm] richtig?
Sei also m das kleinste positive Element in H.
Angenommen [mm] H\subseteq H_m [/mm] würde nicht gelten. Dann gäbe es in H ein Element h, welches kein Vielfaches von m ist.
Dann gabe es ein [mm] k\in \IZ [/mm] und ein 0<r<m mit h=km+r.
Dies mußt Du jetzt so auschlachten, daß herauskommt, daß r [mm] \in [/mm] H ist. Das ist dann ein Widerspruch. Weißt Du, warum?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Fr 19.10.2007 | | Autor: | kittie |
ja ich denke ich habs:
da h und km [mm] \in [/mm] H sind folgt, dass auch r in H liegen muss, da h-km [mm] \in [/mm] H liegt.
Somit wäre aber r<m, was die Widerspruch zur Vorraussetzung, dass m minimal ist in H.
Wenns so stimmt hab ichs verstanden.
> [mm]H_m \subseteq[/mm] H düfte ja nicht das Problem sein, vermute
> ich.
>
Ist für mich leider garnicht so klar.
Aber vielleicht stehe ich da auch nur gerade auf dem Schlauch und weiß nicht, was ich zu tun habe....:(
grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hello kittie,
es gibt eine sehr einfache Argumentation.
(Und du weißt ja: in der Mathematik ist der einfachste Beweis immer der beste)
Die Gruppe [mm] $(\IZ, [/mm] + )$ ist zyklisch also auch jede ihrer Untergruppen.
Sei H eine Untergruppe von [mm] $(\IZ, [/mm] + )$. Dann hat H also ein erzeugendes Element. Wir nennen es m.
Damit ist offenbar [mm] $H_m [/mm] = [mm] \{mz \mid z \in \IZ\}$ [/mm] die von m erzeugte Untergruppe, also $H = [mm] H_m$.
[/mm]
Ist das einfach?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
> da h und km [mm]\in[/mm] H sind folgt, dass auch r in H liegen muss,
> da h-km [mm]\in[/mm] H liegt.
> Somit wäre aber r<m, was die Widerspruch zur
> Vorraussetzung, dass m minimal ist in H.
>
> Wenns so stimmt hab ichs verstanden.
das ist korrekt.
> > [mm]H_m \subseteq[/mm] H düfte ja nicht das Problem sein, vermute
> > ich.
> >
> Ist für mich leider garnicht so klar.
> Aber vielleicht stehe ich da auch nur gerade auf dem
> Schlauch und weiß nicht, was ich zu tun habe....:(
überlege:
m liegt in H, also auch alle Vielfachen von m. Und [mm] $H_m$ [/mm] besteht ja gerade aus allen Vielfachen von m.
Gruß
Will
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