Niveaumengen berechnen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 30.01.2015 | | Autor: | lukasana |
| Aufgabe | Betrachten Sie die durch
[mm] f(x,y)=((x^2 +(y−1)^2))/(x^2+(y+1)^2), (x,y)\inR^2\{(0,−1)},
[/mm]
definierte Funktion f : [mm] R^2 [/mm] → R. Zeigen Sie, dass die Niveaumengen Nz für z mit z > 0 und z ̸= 1 Kreise sind und bestimmen Sie jeweils den Mittelpunkt und den Radius (in Abhängigkeit von z). Geben Sie weiterhin die Niveaumengen auch für z < 0 und für z = 1 an. |
Um die Niveaumengen zu berechnen setze ich die Funktion mit z gleich. Dann forme ich nach y um und bekomme das raus: [mm] y-\wurzel{c}*y=\wurzel{c}*x+\wurzel{c}+1-x [/mm] .
nach einsetzten von 4 in z bekomme ich allerdings y=-x-3 raus, was kein Kreis ergibt.
Hab ich mich irgendwo verrechnet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Fr 30.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Betrachten Sie die durch
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> [mm]f(x,y)=((x^2 +(y−1)^2))/(x^2+(y+1)^2), (x,y)\inR^2\{(0,−1)},[/mm]
>
> definierte Funktion f : [mm]R^2[/mm] → R. Zeigen Sie, dass die
> Niveaumengen Nz für z mit z > 0 und z ̸= 1 Kreise sind
> und bestimmen Sie jeweils den Mittelpunkt und den Radius
> (in Abhängigkeit von z). Geben Sie weiterhin die
> Niveaumengen auch für z < 0 und für z = 1 an.
>
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> Um die Niveaumengen zu berechnen setze ich die Funktion mit
> z gleich. Dann forme ich nach y um und bekomme das raus:
> [mm]y-\wurzel{c}*y=\wurzel{c}*x+\wurzel{c}+1-x[/mm] .
> nach einsetzten von 4 in z bekomme ich allerdings y=-x-3
> raus, was kein Kreis ergibt.
>
> Hab ich mich irgendwo verrechnet?
Hallo,
deine Funktionsgleichung hat sicher einen Schreibfehler. Was ist y1 ?
Das Auftreten von [mm]\sqrt{c}[/mm] erscheint mir abenteuerlich. Schreibe mal deine Ansatzgleichung.
Das "Umformen nach y" ist für eine Kreisgleichung nicht zielführend. Du brauchst eine Umformung in die Form [mm](x-x_m)^2+ (y-y_m)^2 =const[/mm].
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 30.01.2015 | | Autor: | lukasana |
y1 ist die normale Variable y. Meine Umformung sieht so aus:
[mm] (x^2+(y-1)^2)/(x^2+(y+1)^2)=z
[/mm]
[mm] \gdw x^2+(y-1)^2=z*(x^2+(y+1)^2)
[/mm]
[mm] \gdw x+y-1=\wurzel{z}*x+\wurzel{z}*(y+1)
[/mm]
[mm] \gdw y-\wurzel{z}*y=\wurzel{z}*x+\wurzel{z}+1-x
[/mm]
Allerdings hilft das ja nicht viel wenn ich dann keine Kreisgleichung rausbekomme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Fr 30.01.2015 | | Autor: | abakus |
> y1 ist die normale Variable y. Meine Umformung sieht so
> aus:
> [mm](x^2+(y-1)^2)/(x^2+(y+1)^2)=z[/mm]
> [mm]\gdw x^2+(y-1)^2=z*(x^2+(y+1)^2)[/mm]
> [mm]\gdw x+y-1=\wurzel{z}*x+\wurzel{z}*(y+1)[/mm]
Autsch! Die Wurzel aus a²+b² ist NICHT a+b.
Du musst [mm]x^2+(y-1)^2=z*(x^2+(y+1)^2)[/mm] auf beiden Seiten ausmultiplizieren und nach Potenzen von x und y sortieren.
Der nächste Schritt ist also
[mm]x^2+y^2-2y+1=z*(x^2+y^2+2y+1)[/mm]
[mm]x^2+y^2-2y+1=z*x^2+z*y^2+2*z*y+z)[/mm]
Wirf nun fast alles nach links, rechts bleibt nur z (und -1 als die von links weggenommene 1).
>
> [mm]\gdw y-\wurzel{z}*y=\wurzel{z}*x+\wurzel{z}+1-x[/mm]
>
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> Allerdings hilft das ja nicht viel wenn ich dann keine
> Kreisgleichung rausbekomme.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 30.01.2015 | | Autor: | lukasana |
Ok danke den Fehler hab ich übersehen.
Allerdings tritt nach ausmultiplizieren nicht die einfache binomische Schreibweise auf, sonder das hier:
[mm] (x-y)^2+2y-2xy-((x-y)^2+2y-2xy)*c=c-1
[/mm]
Habe das mit der quadratischen Ergänzung gemacht. Die +2y und -2xy treten auf, da nur -2y beim umformen rauskommt.
Hab ich jetzt alles richtig gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Fr 30.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Ok danke den Fehler hab ich übersehen.
>
> Allerdings tritt nach ausmultiplizieren nicht die einfache
> binomische Schreibweise auf, sonder das hier:
> [mm](x-y)^2+2y-2xy-((x-y)^2+2y-2xy)*c=c-1[/mm]
Hallo,
ich hatte es dir bereits ausmultipliziert, siehe oben:
[mm] x^2+y^2-2y+1=z\cdot{}x^2+z\cdot{}y^2+2\cdot{}z\cdot{}y+z [/mm]
Das Umsortieren liefert
[mm] x^2-z\cdot{}x^2+y^2-z\cdot{}y^2-2y-2\cdot{}z\cdot{}y=z-1[/mm] oder
[mm](1-z) x^2+(1-z)y^2-2(1+z)y=z-1[/mm].
Bevor du an quadratische Ergänzung denkst solltest du mal durch (1-z) teilen.
>
> Habe das mit der quadratischen Ergänzung gemacht. Die +2y
> und -2xy treten auf, da nur -2y beim umformen rauskommt.
>
> Hab ich jetzt alles richtig gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 30.01.2015 | | Autor: | lukasana |
Alles klar,
für [mm] c\not=1 [/mm] komme ich dann auf:
[mm] x^2+y^2-2y(1+c)/(1-c)=-1
[/mm]
Ich sehe allerdings nicht wie ich das in die Form
>> $ [mm] (x-x_m)^2+ (y-y_m)^2 [/mm] =const $
bekomme..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Fr 30.01.2015 | | Autor: | abakus |
> Alles klar,
>
> für [mm]c\not=1[/mm] komme ich dann auf:
> [mm]x^2+y^2-2y(1+c)/(1-c)=-1[/mm]
>
> Ich sehe allerdings nicht wie ich das in die Form
> >> [mm](x-x_m)^2+ (y-y_m)^2 =const[/mm]
> bekomme..
x² steht und bleibt allein, da kommt nichts dazu (wir haben sozusagen (x-0)²).
Das dahinter Stehende benötigt eine quadratische Ergänzung, um [mm](y-\frac{...}{...})^2[/mm] zu erhalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Sa 31.01.2015 | | Autor: | lukasana |
Alles klar vielen Dank.
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