Niveaumenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f: [mm] \IR^2->\IR [/mm] die gegeben ist durch
f(x,y) = [mm] y^2-x^2+x^4
[/mm]
Betrachten Sie zudem noch die Funktion [mm] g:[-1,1]->\IR
[/mm]
g(t) = [mm] t\wurzel{1-t^2}
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass die Niveaumenge [mm] N_{f}(0) [/mm] von f zum Niveau 0 gegeben ist durch die Vereinigung
{(t,g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] } [mm] \cup [/mm] { (t,-g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] }
ii) Berechnen Sie zudem fuer jedes [mm] t\in(-1,1) [/mm] das Skalarprodukt
[mm] \left\langle grad f(t,g(t)) ; (1,g'(t))^T \right\rangle [/mm] |
Hallo an alle,
ich moechte die Aufgabe loesen und braeuchte Ihre Hilfe, moechte wissen ob ich es richtig gemacht habe oder nicht
[mm] i)N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in\IR| [/mm] f(x,y) = 0 }
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in\IR| [/mm] y = [mm] \pm \wurzel{x^2-x^4} [/mm] }
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] = { [mm] (x,y)\in[-1,1] [/mm] }
Da [mm] t\in[-1,1] [/mm] => t kann maximal 1 und mininal -1 sein
wenn t = -1 => g(-1) = 0
wenn t = 1 => g(1) = 0
=>
[mm] (t,g(t))\in[-1,1]
[/mm]
das Gleiche gilt fuer (t,-g(t))
=>
[mm] N_{f}(0) [/mm] ist gegeben durch
{(t,g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] } [mm] \cup [/mm] { (t,-g(t): [mm] t\in[-1,1] [/mm] }
ii)
gradient von f(t,t(g)) = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
und
g'(t) = [mm] (1-2t^2)/(\wurzel{1-t^2}
[/mm]
und Skalarprodukt von diesen 2 Vektoren sind immer 0 fuer alle [mm] t\in(-1,1)
[/mm]
Vielen Dank im Voraus,
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Mi 05.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion f: [mm]\IR^2->\IR[/mm] die gegeben ist
> durch
>
> f(x,y) = [mm]y^2-x^2+x^4[/mm]
>
> Betrachten Sie zudem noch die Funktion [mm]g:[-1,1]->\IR[/mm]
>
> g(t) = [mm]t\wurzel{1-t^2}[/mm]
>
> i) Zeigen Sie, dass die Niveaumenge [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
von f zum
> Niveau 0 gegeben ist durch die Vereinigung
>
> {(t,g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ (t,-g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> ii) Berechnen Sie zudem fuer jedes [mm]t\in(-1,1)[/mm] das
> Skalarprodukt
>
> [mm]\left\langle grad f(t,g(t)) ; (1,g'(t))^T \right\rangle[/mm]
>
> Hallo an alle,
>
> ich moechte die Aufgabe loesen und braeuchte Ihre Hilfe,
> moechte wissen ob ich es richtig gemacht habe oder nicht
>
> [mm]i)N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](x,y)\in\IR|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(x,y) = 0 }
> =>
> [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](x,y)\in\IR|[/mm] y = [mm]\pm \wurzel{x^2-x^4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> =>
> [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](x,y)\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Das ist doch Unsinn !!
>
> Da [mm]t\in[-1,1][/mm] => t kann maximal 1 und mininal -1 sein
> wenn t = -1 => g(-1) = 0
> wenn t = 1 => g(1) = 0
> =>
> [mm](t,g(t))\in[-1,1][/mm]
Quatsch. Rechts steht eine Teilmengevon [mm] \IR [/mm] und linksein Element des [mm] \IR^2 [/mm] !!!
> das Gleiche gilt fuer (t,-g(t))
> =>
> [mm]N_{f}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist gegeben durch
> {(t,g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ (t,-g(t): [mm]t\in[-1,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
Gezeigt hast Du nichts !
Für (x,y) \in N_f(0) gilt y = [mm]\pm \wurzel{x^2-x^4}[/mm][mm] =\pm |x|*\wurzel{1-x^2}=g(|t|)
[/mm]
Hilft das ?
> ii)
> gradient von f(t,t(g)) = [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
Das stimmt.
> und
> g'(t) = [mm](1-t^4)/(\wurzel{1-t^2}[/mm]
Das stimmt nicht
FRED
> und Skalarprodukt von diesen 2 Vektoren sind immer 0 fuer
> alle [mm]t\in(-1,1)[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus,
> LG
>
>
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