Nilpotente Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Mi 10.12.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | Sei R ein Ring. Ein Element a [mm] \in [/mm] R heißt nilpotent, falls es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a^{n} [/mm] = 0 gibt.
i) Seien a,b [mm] \in [/mm] R zwei kommutierende Elemente, d.h. ab = ba, und sei a nilpotent. Zeigen Sie, dass dann auch a [mm] \* [/mm] b nilpotent ist.
ii) Seien a,b [mm] \in [/mm] R zwei kommutierende nilpotente Elemente. Zeigen Sie, dass dann auch a + b nilpotent ist. |
Hallo!
Also zur ii) hab ich mir überlegt:
[mm] a^{m} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a^{n} [/mm] = 0, wenn n [mm] \ge [/mm] m
[mm] a^{n} [/mm] = [mm] a^{m} \* a^{n-m} [/mm] = 0 [mm] \* a^{n-m} [/mm] = 0
In jedem Summanden muss ein Faktor 0 enthalten sein.
(a +b [mm] )^{nm}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{nm} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ }
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ } [/mm] + [mm] \summe_{j=n+1}^{nm} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ }
[/mm]
Zum 1. Summenteil:
[mm] b^{nm-i} [/mm] = [mm] (b^{m})^{n-\bruch{i}{m}} [/mm] wobei [mm] n-\bruch{i}{m} [/mm] > 0 ist, da n [mm] \ge [/mm] 1 und m < n. Das i kann ja nicht größer als n werden, daher ist auch sicher [mm] \bruch{n}{m} [/mm] < 1.
Stimmt das so weit???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 10.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Sei R ein Ring. Ein Element a [mm]\in[/mm] R heißt nilpotent, falls
> es ein n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]a^{n}[/mm] = 0 gibt.
>
> i) Seien a,b [mm]\in[/mm] R zwei kommutierende Elemente, d.h. ab =
> ba, und sei a nilpotent. Zeigen Sie, dass dann auch a [mm]\*[/mm] b
> nilpotent ist.
>
> ii) Seien a,b [mm]\in[/mm] R zwei kommutierende nilpotente Elemente.
> Zeigen Sie, dass dann auch a + b nilpotent ist.
> Hallo!
> Also zur ii) hab ich mir überlegt:
>
>
> [mm]a^{m}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a^{n}[/mm] = 0, wenn n [mm]\ge[/mm] m
>
> [mm]a^{n}[/mm] = [mm]a^{m} \* a^{n-m}[/mm] = 0 [mm]\* a^{n-m}[/mm] = 0
> In jedem Summanden muss ein Faktor 0 enthalten
> sein.
>
> (a +b [mm])^{nm}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{nm} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ }[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ }[/mm]
> + [mm]\summe_{j=n+1}^{nm} \vektor{ \vektor{nm \\ i} a^{i} b^{nm-i} \\ }[/mm]
>
> Zum 1. Summenteil:
>
> [mm]b^{nm-i}[/mm] = [mm](b^{m})^{n-\bruch{i}{m}}[/mm] wobei [mm]n-\bruch{i}{m}[/mm] >
> 0 ist, da n [mm]\ge[/mm] 1 und m < n.
m < n ist also Voraussetzung?
> Das i kann ja nicht größer
> als n werden, daher ist auch sicher [mm]\bruch{n}{m}[/mm] < 1.
Ich denke, m < n (s.o.), also [mm] \bruch{n}{m} [/mm] > 1
Ansonsten würde ich zustimmen.
>
> Stimmt das so weit???
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 10.12.2008 | | Autor: | anna88 |
und bei der i) mit [mm] \*..wird [/mm] das dann genau so gemacht wie bei ii) ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Do 11.12.2008 | | Autor: | fred97 |
i) ist viel einfacher:
Da ab = ba, folgt : [mm] (ab)^m [/mm] = [mm] a^mb^m [/mm] für jedes m in [mm] \IN
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Do 11.12.2008 | | Autor: | anna88 |
aaaa okii
dankeee
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