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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mo 20.10.2008 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | Gegeben ist die quadratische Funktion [mm] q(x)=\bruch{1}{2}x^{t}Ax+b^{t}x+c
[/mm]
A=symmetrische Matrix
[mm] x^{t}=transponierte [/mm] Vektor
Zeig, dass sich q in einer der folgenden Normalformen transformieren lässt
[mm] 1.q(x)=\pm (x_{1}^2+x_{2}^2)+c
[/mm]
[mm] 2.q(x)=x_{1}^2 [/mm] - [mm] x_{2}^2 [/mm] +c
[mm] 3.q(x)=x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] +c
[mm] 4.q(x)=x_{1}^2
[/mm]
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Hallo. Ich soll diese quadratische Funktion in eine Normalform überführen. Ich weiß leider nicht wie ich da anfangen soll. Hoffe es kann mir jemand helfen. Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Di 21.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die quadratische Funktion
> [mm]q(x)=\bruch{1}{2}x^{t}Ax+b^{t}x+c[/mm]
>
> A=symmetrische Matrix
> [mm]x^{t}=transponierte[/mm] Vektor
>
> Zeig, dass sich q in einer der folgenden Normalformen
> transformieren lässt
>
> [mm]1.q(x)=\pm (x_{1}^2+x_{2}^2)+c[/mm]
>
> [mm]2.q(x)=x_{1}^2[/mm] - [mm]x_{2}^2[/mm] +c
>
> [mm]3.q(x)=x_{1}^2[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] +c
>
> [mm]4.q(x)=x_{1}^2[/mm]
>
> Hallo. Ich soll diese quadratische Funktion in eine
> Normalform überführen. Ich weiß leider nicht wie ich da
> anfangen soll. Hoffe es kann mir jemand helfen. Danke
> schonmal
Es geht darum, das Koordinatensystem (linear) zu transformieren. Zum Beispiel kannst du durch eine Verschiebung
[mm] x \rightarrow x - x_0 [/mm]
die quadratische Funktion so transformieren, dass der lineare Term [mm] $b^{t}x$ [/mm] verschwindet. Durch eine Drehung wirst du den gemischten Term [mm] $x_1*x_2$ [/mm] los.
Tipp: alle diese Transformationen ändern die Determinante der Matrix nicht.
Viele Grüße
Rainer
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