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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 25.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
| Aufgabe | Auflösen nach den unbekannten Strecken a,b,c,d
[mm] y^2=a^2+b^2-2ab*\cos(\alpha)
[/mm]
[mm] x^2=b^2+c^2-2bc*\cos(\beta)
[/mm]
[mm] y^2=c^2+d^2-2cd*\cos(\gamma)
[/mm]
[mm] x^2=d^2+a^2-2da*\cos(\delta) [/mm] |
Hallo, ich versuche die unbekannten Strecke a,b,c,d auszurechnen.
Da ich nur 2 Angaben(Winkel und gegenüberliegende Seitenlänge) habe und für ein Dreieck 3 Angaben brauche um es vollständig zu bestimmen, habe ich versucht durch den Kosinussatz alle 4 Dreiecke zu beschreiben.
Dadurch ergibt sich mir ein Nichtlineares Gleichungssystem mit 4 Gleichung und 4 Unbekannten. Ich gehe davon, dass die Gleichungen nicht voneinander abhängig sind und sich das Gleichungssystem eigentlich lösen lassen sollte. Wenn nicht, wäre ich für einen Hinweis sehr dankbar! (mit Begründung)
Leider ist es mir nicht möglich, dass Gleichungssystem mit meinem TI Voyage 200 zu lösen. Dieser rechnet ewig und bekommt dann einen Speicher Fehler. Was hätte ich für andere Möglichkeiten um das Gleichungssystem zu lösen?
Gibt es eine einfache Möglichkeit die unbekannten Seiten zu bestimmen?
Ist meine Idee überhaupt möglich und korrekt?
Ich bin für jeden Tipp und Hinweis dankbar!
Natürlich auch, wenn jemand n Taschenrechner hat, der das ausrechnen kann! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Auflösen nach den unbekannten Strecken a,b,c,d
>
> [mm]y^2=a^2+b^2-2ab*cos(α)[/mm]
> [mm]x^2=b^2+c^2-2bc*cos(ß)[/mm]
> [mm]y^2=c^2+d^2-2cd*cos(γ)[/mm]
> [mm]x^2=d^2+a^2-2da*cos(δ)[/mm]
> Hallo, ich versuche die unbekannten Strecke a,b,c,d
> auszurechnen.
> Da ich nur 2 Angaben(Winkel und gegenüberliegende
> Seitenlänge) habe und für ein Dreieck 3 Angaben brauche
> um es vollständig zu bestimmen, habe ich versucht durch
> den Kosinussatz alle 4 Dreiecke zu beschreiben.
>
> Dadurch ergibt sich mir ein Nichtlineares Gleichungssystem
> mit 4 Gleichung und 4 Unbekannten. Ich gehe davon, dass die
> Gleichungen nicht voneinander abhängig sind und sich das
> Gleichungssystem eigentlich lösen lassen sollte. Wenn
> nicht, wäre ich für einen Hinweis sehr dankbar! (mit
> Begründung)
>
> Leider ist es mir nicht möglich, dass Gleichungssystem mit
> meinem TI Voyage 200 zu lösen. Dieser rechnet ewig und
> bekommt dann einen Speicher Fehler. Was hätte ich für
> andere Möglichkeiten um das Gleichungssystem zu lösen?
>
> Gibt es eine einfache Möglichkeit die unbekannten Seiten
> zu bestimmen?
> Ist meine Idee überhaupt möglich und korrekt?
Ich denke, dass deine Idee grundsätzlich funktioniert. Allerdings kann das nichtlineare GS schwer lösbar sein (vielleicht versucht de TI ja das exakt zu lösen...)
Du lässt uns noch im Unklaren, welche Werte dir genau gegeben sind.
Sind es die vier Winkel [mm] $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ [/mm] und die Längen $x,y$ in der Zeichnung?
Dann würde ich dir folgendes empfehlen: Bestimme erstmal alle unbekannten Winkel - das ist nämlich ein lineares Gleichungssystem und mit Sicherheit lösbar. Dann kannst du die unbekannten Seitenlängen a,b,c,d leicht bestimmen.
Bezeichne dazu die restlichen 2 Winkel im Dreieck mit Winkel [mm] $\delta$ [/mm] mit [mm] $\delta_1$, $\delta_2$, [/mm] analog alle anderen Dreiecke.
Dann kannst 8 Gleichungen für die 8 unbekannten Winkel herleiten.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mi 26.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
Hallo, vielen Dank für deine Antwort.
Die Strecken x,y sind geben, sowie die Winkel alpha,beta,gamma,delta.
Alles andere ist unbekannt.
Ich hab nun versucht die restlichen Winkel zu bestimmen, allerdings mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. (Siehe Bild im Anhang)
Diese konnte mir der TI auch umstellen.
Leider stimmen aber die Ergebnisse aber nicht, da wenn ich für alpha=beta=gamma=delta=90° eingebe, bekomm ich für die winkel alpha1, beta1, gamma1, delta1 immer 90° raus, obwohl eigentlich 45° rauskommen müsste.
woran liegt das? stimmen meine gleichungen nicht?
sind die gleichungen nicht unabhängig voneinander?
Welche 8 Gleichungen mit 8 Unbekannten hättest du denn aufgestellt?
Hab ich irgendetwas nicht beachtet?
LG unPOLITE
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Hallo, vielen Dank für deine Antwort.
>
> Die Strecken x,y sind geben, sowie die Winkel
> alpha,beta,gamma,delta.
> Alles andere ist unbekannt.
>
> Ich hab nun versucht die restlichen Winkel zu bestimmen,
> allerdings mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten. (Siehe Bild
> im Anhang)
>
> Diese konnte mir der TI auch umstellen.
> Leider stimmen aber die Ergebnisse aber nicht, da wenn ich
> für alpha=beta=gamma=delta=90° eingebe, bekomm ich für
> die winkel alpha1, beta1, gamma1, delta1 immer 90° raus,
> obwohl eigentlich 45° rauskommen müsste.
>
> woran liegt das? stimmen meine gleichungen nicht?
> sind die gleichungen nicht unabhängig voneinander?
Die Gleichungen sind nicht unabhängig voneinander.
Tatsächlich sind nämlich die 8 Winkel gar nicht eindeutig bestimmbar, wenn man x und y nicht in die Gleichung einfließen lässt. Du kannst aber alle Winkel in Abhängigkeit eines einzelnen Winkels angeben.
Also halte zum Beispiel mal [mm] $\delta_2 [/mm] = z$ als Variable fest, dann kannst du alle anderen Winkel als lineare Funktion von z angeben.
Du kennst dann in jedem Dreieck alle Winkel (in Abh. von z) und eine Seite.
Nimm dir zwei Dreiecke vor: Das Dreieck mit dem Innenwinkel [mm] $\delta$ [/mm] und mit [mm] $\gamma$.
[/mm]
Bestimme mit dem Sinussatz jeweils Ausdrücke für die Seite d, indem du beim einen Dreieck [mm] $\sin(...) [/mm] / d = [mm] \sin(\delta)/x$ [/mm] und beim anderen Dreieck [mm] $\sin(...) [/mm] / d = [mm] \sin(\gamma)/y$ [/mm] benutzt.
Du erhältst dann, wenn du die Gleichungen mit d gleichsetzt:
sin(...) = Zahl*sin(...),
wobei in jedem Sinus das z linear vorkommt. Mit Hilfe dieser Gleichung kannst du z (mindestens numerisch) bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 26.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
Hallo,
ich habe angefangen die gleichungen für das untere und rechte dreieck nach d umzustellen und gleichzusetzen.
Dieses habe ich analog auch mit den den Seiten a, b & c gemacht.
Ich verstehe allerdings nicht, wie ich immer den gleichen bezugswinkel in den gleichungen haben soll. Nachdem ich für alle die Seite a,b,c,d die Gleichungen gleichgestellt habe, hatte ich 4 Gleichungen und 8 unbekannte Winkel, sowie keinen Bezugswinkel. Daher hatte ich versucht die Winkel mit dem Index 2, anders auszudrücken, sodass ich 4 Gleichungen und 4 Unbekannte habe. Dies ging leider ziemlich in die Hose, da die wahrscheinlich wieder nicht unabhängig voneinander waren.
Kannst du mir vielleicht deine Idee ein wenig näher erklären, so ganz war mir die Methode irgendwie noch nicht bewusst. Nach dem Gleichsetzen wusste ich nicht genau was ich tun muss. Und wie ich den gleichen Bezugswinkel benutzen kann/soll, obwohl ich mich in einem anderen dreieck befinde.
Im Anhang ist meine Vorgehensweise zu sehen.
Ich möchte diese Rechnung nämlich zur Positionbestimmung benutzen und diese dann in einem Alghorithmus anzuwenden, um die Position zu bestimmen.
LG unPOLITE
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> ich habe angefangen die gleichungen für das untere und
> rechte dreieck nach d umzustellen und gleichzusetzen.
Das hast du richtig gemacht - aber ich hatte davor ja noch geschrieben, du sollst alle Winkel [mm] $\alpha_1, \alpha_2, [/mm] ...$ nur durch [mm] $\delta_2 [/mm] = z$ ausdrücken.
> Dieses habe ich analog auch mit den den Seiten a, b & c
> gemacht.
Das wäre nicht nötig gewesen.
> Ich verstehe allerdings nicht, wie ich immer den gleichen
> bezugswinkel in den gleichungen haben soll. Nachdem ich
> für alle die Seite a,b,c,d die Gleichungen gleichgestellt
> habe, hatte ich 4 Gleichungen und 8 unbekannte Winkel,
> sowie keinen Bezugswinkel. Daher hatte ich versucht die
> Winkel mit dem Index 2, anders auszudrücken, sodass ich 4
> Gleichungen und 4 Unbekannte habe. Dies ging leider
> ziemlich in die Hose, da die wahrscheinlich wieder nicht
> unabhängig voneinander waren.
>
> Kannst du mir vielleicht deine Idee ein wenig näher
> erklären, so ganz war mir die Methode irgendwie noch nicht
> bewusst. Nach dem Gleichsetzen wusste ich nicht genau was
> ich tun muss. Und wie ich den gleichen Bezugswinkel
> benutzen kann/soll, obwohl ich mich in einem anderen
> dreieck befinde.
Also ich hatte mir das so vorgestellt:
Dreieck mit Seiten a,d,x:
Wir wissen [mm] $\delta_2 [/mm] := z$, [mm] $\delta_1 [/mm] = 180 - [mm] \delta [/mm] - [mm] \delta_1 [/mm] = 180 - [mm] \delta [/mm] - z$.
Sinussatz:
[mm] $\frac{d}{\sin(\delta_2)} [/mm] = [mm] \frac{x}{\sin(\delta)}$, [/mm] also $d = [mm] \sin(z)*\frac{x}{\sin(\delta)}$ [/mm] (*)
Dreieck mit Seiten c,d,y:
Wir wissen: [mm] $\gamma_2 [/mm] = 90 - [mm] \delta_1 [/mm] = 90 - (180 - [mm] \delta [/mm] - z) = [mm] \delta [/mm] + z - 90$, und daher
[mm] $\gamma_1 [/mm] = 180 - [mm] \gamma [/mm] - [mm] \gamma_2 [/mm] = 180 - [mm] \gamma [/mm] - [mm] (\delta [/mm] + z -90) = 270 - [mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] - z$.
Nun Sinussatz:
[mm] $\frac{d}{\sin(\gamma_1)} [/mm] = [mm] \frac{y}{\sin(\gamma)}$, [/mm] also $d = [mm] \sin(270 [/mm] - [mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] - [mm] z)*\frac{y}{\sin(\gamma)}$. [/mm] (**)
Nun kannst du die beiden Gleichungen (*) und (**) gleichsetzen. Die einzige Unbekannte dort drin ist z ! Wenn du nun z bestimmst, kennst du automatisch alle Winkel (weil du alle Winkel nur durch z ausdrücken kannst).
[mm] $\sin(z)*\frac{x}{\sin(\delta)} [/mm] = [mm] \sin(270 [/mm] - [mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] - [mm] z)*\frac{y}{\sin(\gamma)}$.
[/mm]
Also
[mm] $\sin(z) [/mm] = [mm] \sin(270 [/mm] - [mm] \gamma [/mm] - [mm] \delta [/mm] - [mm] z)*\frac{y* \sin(\delta)}{\sin(\gamma)*x}$.
[/mm]
Diese Gleichung kann man vermutlich sogar exakt lösen (sie ist ja vom Typ
[mm] $\sin(z) [/mm] = [mm] \sin(a-z)*b$),
[/mm]
aber dein Taschenrechner sollte das ohne Probleme numerisch lösen können (Du musst aber an die Zwangsbedingung 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 90 denken)
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 27.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Hilfe, du hast mir sehr geholfen!
Ich hab jetzt auch den Sinn von deiner Idee verstanden.
Ich versuche mittlerweile die letzte Formel mit dem Taschenrechner allgemein nach z umzustellen, sodass ich ein Gleichung von z=(...) bekomme.
Auch mit der Zwangsbedingung 0<=z<=90 erhalte ich leider keine konkrete Gleichung für z.
Wenn ich es allg. mit Variablen nach z umstellen möchte, erhalte ich nur:
[mm] sin(\delta)*cos(z+\gamma+\delta)*y+sin(\gamma)*sin(z)*x=0 [/mm] or [mm] 1/(sin(\gamma)*x)=0
[/mm]
Mit dem Hinweis das weitere Lösungen möglich sind.
Wenn ich Zahlenwerte einsetze, sodass für z = 45° rauskommen müsste:
x = y = 10
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = [mm] \delta=90°
[/mm]
Gibt er mir für z folgendes Ergebnis:
z = 45*(4*@n11-3)
Das @n11 sagt nach meinen recherchen eig nur aus, dass an dieser Stelle eigentlich z eingefügt werden müsste und wir daher unendlich viele Lösungen haben --> Daher diese Schreibweise im Ergebnis.
Gibt es noch weitere Zwangsbedingungen die beachtet werden müssen, sodass ich eine konkrete Gleichung für z rausbekomme?
LG
unPOLITE
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Hallo,
du hast eine Gleichung der Form
[mm] $\sin(z) [/mm] = [mm] c_1*\sin(c_2-z)$.
[/mm]
Diese ist äquivalent zu (beachte [mm] $\sin(-x)= -\sin(x))$
[/mm]
[mm] $\sin(z) [/mm] + [mm] c_1*\sin(z-c_2) [/mm] = 0$.
Nun gibt es auf Wiki die ![[]](/images/popup.gif) Formelsammlung Trigonometrie.
Da steht eine Formel, womit man die linke Seite obiger Gleichung in die Form [mm] $\sqrt{...}*\sin(z+\delta)$
[/mm]
bringen kann. Wenn du das gemacht hast, hast du nur noch eine Gleichung der Form
[mm] $\sin(z+\delta) [/mm] = 0$,
also $z = [mm] -\delta$ [/mm] oder $z = 180 - [mm] \delta$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 27.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
Hallo,
Ich habe mit den Befehl numLöse() jetzt hinbekommen den Winkel [mm] \delta2 [/mm] = z zu bestimmen.
Beim numerischen Lösen darf ich allerdings nur eine Unbekannte haben und muss daher für alle anderen Variablen Zahlenwerte angeben.
Gibts es eine Möglichkeit z auch analytisch zu bestimmen?
Oder ist diese Rechnung für eine analytische Berechnung zu komplex?
LG
unPOLITE
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Hallo,
> Gibts es eine Möglichkeit z auch analytisch zu bestimmen?
> Oder ist diese Rechnung für eine analytische Berechnung
> zu komplex?
Nein, ist sie nicht.
Ich hatte dir in meiner letzten Antwort auch schon eine Anleitung gegeben, wie du es hinbekommst.
Deine Gleichung ist von der Form (siehe letzte Antwort):
[mm] $\sin(z) [/mm] + [mm] c_1*\sin(z [/mm] - [mm] c_2) [/mm] = 0$,
was äquivalent ist zu
[mm] $\sin(z+\delta) [/mm] =0$
ist mit [mm] $\delta [/mm] = [mm] atan2(-c_1*\sin(c_2), [/mm] 1 + [mm] c_1*\cos(c_2))$, [/mm] und atan2 findest du hier. Ich bin mir relativ sicher, dass man das noch vereinfachen kann, aber das überlasse ich dir.
Eine Lösung obiger Gleichung ist nun $z = [mm] -\delta$ [/mm] oder $z = [mm] 180-\delta$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Fr 28.06.2013 | | Autor: | unPOLITE |
Hallo,
ich hab mal alles soweit nachgerechnet und komme auf das selbe ergebnis.
Der atan2() ist mal was ganz neues für mich. Wenn ich es aber richtig verstanden habe, sind die Parameter die ich dem atan2() übergebe y und x koordinaten.
In meinem Fall sind die Koordinaten ja feste Werte ohne unbekannte Variablen.
Entsprechen denn die Koordinaten(y,x) die ich jetzt verwende automatisch auch dem Punkt P, den ich herausfinden will oder sind die Koordninaten nur vom Verhältnis gleich mit den Koordinaten vom Punkt P, sodass ich "nur" den Winkel z weiß?
Liebe Grüße und vielen Dank für deine Geduld.
unPOLITE
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Hallo,
> Hallo,
>
> ich hab mal alles soweit nachgerechnet und komme auf das
> selbe ergebnis.
>
> Der atan2() ist mal was ganz neues für mich. Wenn ich es
> aber richtig verstanden habe, sind die Parameter die ich
> dem atan2() übergebe y und x koordinaten.
Ja. Allerdings hat das NICHTS mit den Koordinaten aus deinem Bild zu tun.
Du weißt ja bereits, was du in den atan2 einzusetzen hast, nämlich diese [mm] $c_1*\sin(c_2)$ [/mm] -Terme etc.
> In meinem Fall sind die Koordinaten ja feste Werte ohne
> unbekannte Variablen.
> Entsprechen denn die Koordinaten(y,x) die ich jetzt
> verwende automatisch auch dem Punkt P, den ich herausfinden
> will oder sind die Koordninaten nur vom Verhältnis gleich
> mit den Koordinaten vom Punkt P, sodass ich "nur" den
> Winkel z weiß?
Nein, die Koordinaten, die du in den atan2 einsetzt, haben nichts mit deinen Koordinaten im Bild zu tun. Du berechnest mit dem atan2 NUR deine Lösungen für z.
Und sobald du z weißt, kennst du alle Winkel in deinem Bild, und kannst ohne Probleme den Rest berechnen. Und auch dann (wenn die ganze Rechnung mit dem z abgeschlossen ist) sind die Koordinaten in deinem Bild unwichtig, weil du ja nur Kosinus/Sinussatz benutzen musst um die restlichen Seitenlängen herauszufinden.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Do 27.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe angefangen die gleichungen für das untere und
> rechte dreieck nach d umzustellen und gleichzusetzen.
> Dieses habe ich analog auch mit den den Seiten a, b & c
> gemacht.
> Ich verstehe allerdings nicht, wie ich immer den gleichen
> bezugswinkel in den gleichungen haben soll. Nachdem ich
> für alle die Seite a,b,c,d die Gleichungen gleichgestellt
> habe, hatte ich 4 Gleichungen und 8 unbekannte Winkel,
> sowie keinen Bezugswinkel. Daher hatte ich versucht die
> Winkel mit dem Index 2, anders auszudrücken, sodass ich 4
> Gleichungen und 4 Unbekannte habe. Dies ging leider
> ziemlich in die Hose, da die wahrscheinlich wieder nicht
> unabhängig voneinander waren.
>
> Kannst du mir vielleicht deine Idee ein wenig näher
> erklären, so ganz war mir die Methode irgendwie noch nicht
> bewusst. Nach dem Gleichsetzen wusste ich nicht genau was
> ich tun muss. Und wie ich den gleichen Bezugswinkel
> benutzen kann/soll, obwohl ich mich in einem anderen
> dreieck befinde.
>
> Im Anhang ist meine Vorgehensweise zu sehen.
>
> Ich möchte diese Rechnung nämlich zur Positionbestimmung
> benutzen und diese dann in einem Alghorithmus anzuwenden,
> um die Position zu bestimmen.
Warum sagst du das nicht gleich!
Die Aufgabe enthält nämlich mehr Angaben, als zur Lösung erforderlich sind (sie ist also überbestimmt).
Was weißt du über das untere Dreieck?
Es hat eine Seitenlänge x=AB, und am dritten Punkt (nennen wir ihn P) im Innereren des Rechtecks hat der Winkel APB die Größe [mm] $\alpha$.
[/mm]
Wenn man für das Dreieck ABP den Umkreis zeichnen würde, so wäre der Winkel APB ein Peripheriewinkel uber der Sehne AB.
Nehmen wir nun das rechte Dreieck mit BC=y.
Auch das Dreieck BCP hat einen Umkreis, und Winkel BPC istz ein Periheriewinkel über BC.
Somit ist der geometrische Ort (die "Position") des Punktes P als einer von zwei möglichen Schnittpunkten der beiden geometrischen Orte von P bereits bekannt.
Die wesentliche Arbeit besteht nun darin, in einem geeignet zu wählenden Koordinatensystem die Gleichungen für die beiden Kreise aufzustellen, für deren Punkte die Strecken AB bzw. BC unter dem Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] bzw. [mm] $\beta$ [/mm] erscheinen.
Gruß Abakus
>
> LG unPOLITE
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 26.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein kleiner Zusatz
die Gleichungen hängen über die Summe der Winkel = 360° zusammen. ausserdem geht in deine Rechnung nicht ein, dass x,y ein Rechteck bilden.
Gruss leduart
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