Newton Interpolationspolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme für die folgende Tabelle das "Newton - Interpolationspolynom" nach dem Verfahren der "dividierten Differenzen".
X Y
-1 [mm] -\bruch{10}{12}
[/mm]
1 [mm] \bruch{30}{36}
[/mm]
2 [mm] \bruch{44}{12}
[/mm]
4 [mm] \bruch{140}{6}
[/mm]
Gebe das Polynom in der Form [mm] P_3(x) [/mm] = [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 [/mm] an |
Guten Abend,
ich hab sowas schon lang nicht mehr gerechnet. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen. Und mir eventuell erklären wie das geht?
Ich nehme an, Steigungs oder Differenzschema muss ich anwenden, allerdings hab ich mir da was durchgelesen und versteh es nicht so wirklich..
Was ich weiß:
Das ist ja das Newtonsche Interpolationspolynom?
y = [mm] a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) [/mm]
[mm] x_0, x_1,... [/mm] Stützstellen
[mm] y_0, y_1,.. [/mm] Stützwerte
Viele Grüße
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Hallo!
> Bestimme für die folgende Tabelle das "Newton -
> Interpolationspolynom" nach dem Verfahren der "dividierten
> Differenzen".
>
> X Y
> -1 [mm]-\bruch{10}{12}[/mm]
>
> 1 [mm]\bruch{30}{36}[/mm]
>
> 2 [mm]\bruch{44}{12}[/mm]
>
> 4 [mm]\bruch{140}{6}[/mm]
>
> Gebe das Polynom in der Form [mm]P_3(x)[/mm] =
> [mm]a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3[/mm] an
> Guten Abend,
>
> ich hab sowas schon lang nicht mehr gerechnet. Kann mir
> jemand auf die Sprünge helfen. Und mir eventuell erklären
> wie das geht?
> Ich nehme an, Steigungs oder Differenzschema muss ich
> anwenden, allerdings hab ich mir da was durchgelesen und
> versteh es nicht so wirklich..
>
> Was ich weiß:
> Das ist ja das Newtonsche Interpolationspolynom?
>
> y =
> [mm]a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)[/mm]
>
> [mm]x_0, x_1,...[/mm] Stützstellen
> [mm]y_0, y_1,..[/mm] Stützwerte
Genau, das ist es. Und du musst jetzt noch die Koeffizienten [mm] a_{i} [/mm] bestimmen.
Das kannst du mit Hilfe der dividierten Differenzen machen:
Anfangs wird definiert:
[mm] $y[x_0] [/mm] := [mm] y_0$
[/mm]
[mm] $y[x_1] [/mm] := [mm] y_1$
[/mm]
[mm] $y[x_2] [/mm] := [mm] y_2$
[/mm]
[mm] $y[x_3] [/mm] := [mm] y_3$
[/mm]
Dann lautet die Rekursionsformel:
[mm] $y[x_{i},...,x_{k}] [/mm] = [mm] \frac{y[x_{i+1},...,x_{k}] - y[x_{i},...,x_{k-1}]}{x_{k}-x_{i}}$
[/mm]
Warum brauchen wir die? Die Koeffizienten erhalten wir nach dem Schema einfach durch:
[mm] $a_{0} [/mm] = [mm] y[x_{0}]$
[/mm]
[mm] $a_{1} [/mm] = [mm] y[x_{0},x_{1}]$
[/mm]
[mm] $a_{2} [/mm] = [mm] y[x_{0},x_{1},x_{2}]$,
[/mm]
[mm] $a_{3} [/mm] = [mm] y[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]$,
[/mm]
(usw., hier aber nicht  "usw.")
Durch die Rekursionsformel können wir nun mit Hilfe der "y-Terme", die jeweils nur eine Stützstelle enthalten, alle "y-Terme" berechnen, die zwei Stützstellen enthalten:
Ein Beispiel:
Wir wollen [mm] y[x_{0},x_{1}] [/mm] berechnen. Das bedeutet nach Rekursionsformel: i = 0, k =1. Also steht bei der Rekursionsformel insgesamt:
[mm] $y[x_{0},x_{1}] [/mm] = [mm] \frac{y[x_{1}] - y[x_{0}]}{x_{1}-x_{0}}$
[/mm]
Das kannst du nun alles einsetzen, und du weißt nun [mm] $y[x_{0},x_{1}]$. [/mm] Analog machst du weiter und bestimmst noch [mm] $y[x_{1},x_{2}]$ [/mm] und [mm] $y[x_{2},x_{3}]$. [/mm] Dann musst du wie vorher von "1 auf 2" die Rekursionsformel nun dazu benutzen, von "2 auf 3" zu kommen, und dann noch von "3 auf 4".
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | X Y
-1 $ [mm] -\bruch{10}{12} [/mm] $
1 $ [mm] \bruch{30}{36} [/mm] $
2 $ [mm] \bruch{44}{12} [/mm] $
4 $ [mm] \bruch{140}{6} [/mm] $ |
Hallo Stefan,
Vielen Vielen Dank für deine Ausführliche Antwort !!!
Das ist nun alles sehr viel Theorie. Am Besten kann ich so was nachvollziehen mit einer gerechneten Aufgabe.
Kann einer mir das mal Vorrechnen? - Müssen auch nicht die Zahlen aus der Aufgabe sein(Nicht das ihr denkt ich wär zu Faul zum selbst Rechnen  )
Dass wäre echt sehr sehr sehr Hilfreich und Nett zugleich.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 03.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Netz gibts viele Beispiele google nach Polynominterpolation
z. Bsp http://www.matheboard.de/thread.php?postid=404953#post404953
oder wiki
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ja, dass habe ich auch schon gemacht. Habe eine Seite gefunden, da ist es glaub ich ganz gut erklärt an einem Beispiel?? http://www.students.uni-mainz.de/neufa005/Die_Newton_Interpolationsfortmel.htm
Am besten fang ich mal ganz von Vorne an.(So wie die es auf der Seite gemacht haben)
[mm] y_i_i=f(x), [/mm] i = 1,....,n , (2)
Man kennt die Werte der [mm] x_i [/mm] und wegen (2) die Werte der [mm] y_i_i
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = -1
[mm] x_1 [/mm] = 1
[mm] x_2 [/mm] = 2
[mm] x_3 [/mm] = 4
So jetzt weiß ich aber nich dass hier - Wie erhalte ich die Werte [mm] y_1_1 [/mm] anhand von (2) ?
(und wegen (2) die Werte der [mm] y_i_i)
[/mm]
[mm] y_0_0 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] =
[mm] y_1_1 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] =
[mm] y_1_1 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] =
[mm] y_1_1 [/mm] = [mm] y_1 [/mm] =
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Hallo,
> Hallo leduart,
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> ja, dass habe ich auch schon gemacht. Habe eine Seite
> gefunden, da ist es glaub ich ganz gut erklärt an einem
> Beispiel??
> http://www.students.uni-mainz.de/neufa005/Die_Newton_Interpolationsfortmel.htm
>
> Am besten fang ich mal ganz von Vorne an.(So wie die es auf
> der Seite gemacht haben)
>
> [mm]y_i_i=f(x),[/mm] i = 1,....,n , (2)
>
> Man kennt die Werte der [mm]x_i[/mm] und wegen (2) die Werte der
> [mm]y_i_i[/mm]
>
> [mm]x_0[/mm] = -1
> [mm]x_1[/mm] = 1
> [mm]x_2[/mm] = 2
> [mm]x_3[/mm] = 4
...
Und außerdem ist bekannt:
[mm] $f(x_{0}) [/mm] = [mm] -\frac{10}{12} [/mm] = [mm] -\frac{5}{6}$
[/mm]
[mm] $f(x_{1}) [/mm] = [mm] \frac{30}{36} [/mm] = [mm] \frac{5}{6}$
[/mm]
[mm] $f(x_{2}) [/mm] = [mm] \frac{44}{12} [/mm] = [mm] \frac{11}{3}$
[/mm]
[mm] $f(x_{3}) [/mm] = [mm] \frac{140}{6} [/mm] = [mm] \frac{70}{3}$
[/mm]
> So jetzt weiß ich aber nich dass hier - Wie erhalte ich
> die Werte [mm]y_1_1[/mm] anhand von (2) ?
>
> (und wegen (2) die Werte der [mm]y_i_i)[/mm]
>
> [mm]y_0_0[/mm] = [mm]y_1[/mm] =
> [mm]y_1_1[/mm] = [mm]y_1[/mm] =
> [mm]y_1_1[/mm] = [mm]y_1[/mm] =
> [mm]y_1_1[/mm] = [mm]y_1[/mm] =
Okay, dann machen wir das jetzt wie auf der Seite.
Dort steht zunächst [mm] $y_{i_{i}} [/mm] = [mm] f(x_{i})$, [/mm] i = 0,...,n
(Auf der Seite steht i = 1,..,n, das ist aber ein Fehler)
Hier also:
[mm] $y_{0,0} [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] -\frac{5}{6}$
[/mm]
[mm] $y_{1,1} [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] \frac{5}{6}$
[/mm]
[mm] $y_{2,2} [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] \frac{11}{3}$
[/mm]
[mm] $y_{3,3} [/mm] = [mm] f(x_{3}) [/mm] = [mm] \frac{70}{3}$
[/mm]
Nun lautet die Rekursionsformel:
[mm] $y_{i,k} [/mm] = [mm] \frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}}$
[/mm]
Denk' dran:
Unser Ziel ist es, die [mm] y_{0,i} [/mm] zu bestimmen für i = 0,1,2,3; denn es gilt: Die Koeffizienten des Newtonpolynoms [mm] c_{i} [/mm] erhalten wir gerade durch [mm] $c_{i} [/mm] = [mm] y_{0,i}$. [/mm] Den Koeffizienten [mm] c_{0} [/mm] = [mm] y_{0,0} [/mm] = [mm] -\frac{5}{6} [/mm] kennen wir also schon!
Als nächstes wollen wir [mm] $c_{1} [/mm] = [mm] y_{0,1}$ [/mm] bestimmen. Wir benutzen die Rekursionsformel:
Dann ist i = 0, k = 1:
[mm] $c_{1} [/mm] = [mm] y_{0,1} [/mm] = [mm] \frac{y_{0+1,1}-y_{0,1-1}}{x_{1}-x_{0}} =\frac{y_{1,1}-y_{0,0}}{x_{1}-x_{0}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{5}{6} - \left(-\frac{5}{6}\right)}{1-(-1)} [/mm] = [mm] \frac{5}{6}$.
[/mm]
Nun wollen wir als nächstes [mm] $c_{2} [/mm] = [mm] y_{0,2}$ [/mm] bestimmen. Wir benutzen wieder die Rekursionsformel:
Dann ist i = 0, k = 2:
[mm] $c_{2} [/mm] = [mm] y_{0,2} [/mm] = [mm] \frac{y_{0+1,2}-y_{0,2-1}}{x_{2}-x_{0}} =\frac{y_{1,2}-y_{0,1}}{x_{2}-x_{0}}$ [/mm] (*)
Das können wir also noch gar nicht bestimmen, denn wir wissen noch nicht, was [mm] y_{1,2} [/mm] ist! Also bestimmen wir zunächst [mm] y_{1,2} [/mm] :
Dann ist i = 1, k = 2:
[mm] $y_{1,2} [/mm] = [mm] \frac{y_{1+1,2}-y_{1,2-1}}{x_{2}-x_{1}} =\frac{y_{2,2}-y_{1,1}}{x_{2}-x_{1}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{11}{3} - \frac{5}{6}}{2-1} [/mm] = [mm] \frac{17}{6}$
[/mm]
Nun können wir auch mit (*) [mm] $c_{2} [/mm] = [mm] y_{0,2}$ [/mm] bestimmen:
[mm] $c_{2} [/mm] = [mm] y_{0,2} [/mm] = [mm] \frac{y_{0+1,2}-y_{0,2-1}}{x_{2}-x_{0}} =\frac{y_{1,2}-y_{0,1}}{x_{2}-x_{0}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{17}{6} - \frac{5}{6}}{2-(-1)} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}$ [/mm]
--------
Nun musst du zuletzt noch [mm] c_{3} [/mm] = [mm] y_{0,3} [/mm] bestimmen. Allerdings wirst du das nicht sofort berechnen können, du benötigst vorher noch andere [mm] y_{i,j}, [/mm] die du berechnen musst (wie wir auch schon bei [mm] c_{2} [/mm] ein extra-y berechnen mussten).
Da die Rekursionsformeln natürlich stringent aufgebaut sind, weiß man schon vorher, welche y's man zum Berechnen aller Koeffizienten benötigen wird. Man geht also eigentlich beim Berechnen so vor:
1. Alle [mm] y_{i,i} [/mm] (i = 0,...,3) sind gegeben.
2. Berechne als nächstes alle [mm] y_{i,i+1} [/mm] (i = 0,1,2).
3. Berechne als nächstes alle [mm] y_{i,i+2} [/mm] (i = 0,1).
4. Berechne zuletzt [mm] y_{i,i+3} [/mm] (i = 0), also [mm] y_{0,3} [/mm] = [mm] c_{3}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
Vielen Vielen Dank nochmals !!!
Alles klar ich werde das nun mal noch $ [mm] c_{3} [/mm] $ = $ [mm] y_{0,3} [/mm] $ bestimmen.
Viele Grüße
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So hab erstmal zum Verständniss für mich alles abgeschrieben.
Die RekursionsFormel für [mm] y_{1,3} [/mm] ist ?
[mm] y_{1,3} =\frac{y_{3,3}-y_{2,2}}{x_{3}-x_{2}} [/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{70}{3}-\bruch{11}{3}}{4-2}
[/mm]
$ [mm] c_{3} [/mm] = [mm] y_{0,3}=\frac{y_{1,3}-y_{0,3}}{x_{3}-x_{0}} [/mm] $
Viele Grüße
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Hallo,
> So hab erstmal zum Verständniss für mich alles
> abgeschrieben.
>
> Die RekursionsFormel für [mm]y_{1,3}[/mm] ist ?
>
>
> [mm]y_{1,3} =\frac{y_{3,3}-y_{2,2}}{x_{3}-x_{2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\bruch{70}{3}-\bruch{11}{3}}{4-2}[/mm]
>
> [mm]c_{3} = y_{0,3}=\frac{y_{1,3}-y_{0,3}}{x_{3}-x_{0}}[/mm]
Nein, das stimmt nicht. Die Rekursionsformel lautet doch:
$ [mm] y_{i,k} [/mm] = [mm] \frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}} [/mm] $
Wenn du jetzt [mm] y_{1,3} [/mm] ausrechnen möchtest, was ist dann i, was ist k?
Nun setze rechts in die Formel dieselben Werte für i und k ein.
Grüße,
Stefan
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Guten Morgen Stefan,
Danke für deine Antwort!
Hoffentlich mach ich das jetzt richtig sonst hälst du mich für total bekloppt..
...wenn das eh nicht schon der Fall ist
i = 1, was ist k=3?
[mm] y_{i,k} [/mm] = [mm] \frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}} [/mm]
[mm] y_{1,3} =\frac{y_{1+1,3}-y_{1,3-1}}{x_{3}-x_{1}} [/mm]
= [mm] y_{1,3} =\frac{y_{2,3}-y_{1,2}}{x_{3}-x_{1}} [/mm]
Viele Grüße
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Hallo und guten Morgen
> Hoffentlich mach ich das jetzt richtig sonst hälst du mich
> für total bekloppt..
> ...wenn das eh nicht schon der Fall ist
>
> i = 1, was ist k=3?
>
> [mm]y_{i,k}[/mm] = [mm]\frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}}[/mm]
>
>
> [mm]y_{1,3} =\frac{y_{1+1,3}-y_{1,3-1}}{x_{3}-x_{1}}[/mm]
>
> = [mm]y_{1,3} =\frac{y_{2,3}-y_{1,2}}{x_{3}-x_{1}}[/mm]
So ist es richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Formel für [mm] c_{3} [/mm] = [mm] y_{0,3} [/mm] lautet richtig:
[mm] $c_{3} [/mm] = [mm] y_{0,3} [/mm] = [mm] \frac{y_{0+1,3}-y_{0,3-1}}{x_{3}-x_{0}} [/mm] = [mm] \frac{y_{1,3}-y_{0,2}}{x_{3}-x_{0}}$.
[/mm]
[mm] y_{0,2} [/mm] kennen wir schon (das ist gerade [mm] c_{2} [/mm] ), und die Formel für [mm] y_{1,3} [/mm] steht oben. Für [mm] y_{1,3} [/mm] selbst brauchst du aber noch [mm] y_{2,3} [/mm] und [mm] y_{1,2}. y_{1,2} [/mm] kennen wir auch schon (siehe meine zweite Antwort), aber [mm] y_{2,3} [/mm] musst du auch noch mit der Rekursionsformel ausrechnen.
Das wirkt jetzt wahrscheinlich sehr durcheinander.
Wie aber schon bemerkt, normalerweise berechnet man die Werte nacheinander in der auch in der zweiten Antwort von mir angegebenen Reihenfolge.
Grüße,
Stefan
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Okay, Vielen Dank.
[mm] y_{i,k} [/mm] $ = $ [mm] \frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}} [/mm]
[mm] y_{2,3} =\frac{y_{2+1,3}-y_{2,3-1}}{x_{3}-x_{2}} [/mm]
[mm] y_{2,3} =\frac{y_{3,3}-y_{2,2}}{x_{3}-x_{2}} [/mm]
[mm] y_{2,3} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{70}{3}-\bruch{11}{3}}{4-2} [/mm]
Weiß jetzt nicht wie lang du noch online bist, deswegen frag ich mal vorneweg, was mache ich dann wenn ich meine ganzen [mm] c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] habe?
Viele Grüße
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Hallo,
> Okay, Vielen Dank.
>
> [mm]y_{i,k}[/mm] [mm]=[/mm] [mm]\frac{y_{i+1,k}-y_{i,k-1}}{x_{k}-x_{i}}[/mm]
>
>
> [mm]y_{2,3} =\frac{y_{2+1,3}-y_{2,3-1}}{x_{3}-x_{2}}[/mm]
>
>
> [mm]y_{2,3} =\frac{y_{3,3}-y_{2,2}}{x_{3}-x_{2}}[/mm]
>
>
> [mm]y_{2,3}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{70}{3}-\bruch{11}{3}}{4-2}[/mm]
Ich habe jetzt nicht überprüft, ob du die Werte richtig eingesetzt hast, aber die Formel stimmt.
> Weiß jetzt nicht wie lang du noch online bist, deswegen
> frag ich mal vorneweg, was mache ich dann wenn ich meine
> ganzen [mm]c_1,c_2[/mm] und [mm]c_3[/mm] habe?
(Nicht zu vergessen: [mm] c_{0} [/mm] )
Dann bist du fertig.
Das Interpolations-Polynom lautet dann einfach:
$p(x) = [mm] \sum_{k=0}^{3}c_{k}*N_{k}(x)$,
[/mm]
wobei
[mm] $N_{0}(x) [/mm] = 1$
[mm] $N_{k}(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i=0}^{k-1}(x-x_{i})$.
[/mm]
Also ausgeschrieben (so wie du es im ersten Post auch schon gemacht hast):
$p(x) = [mm] c_{0}*N_{0}(x) [/mm] + [mm] c_{1}*N_{1}(x) +c_{2}*N_{2}(x) +c_{3}*N_{3}(x)$
[/mm]
$ = [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}*(x-x_{0}) [/mm] + [mm] c_{2}*(x-x_{0})*(x-x_{1}) [/mm] + [mm] c_{3}*(x-x_{0})*(x-x_{1})*(x-x_{2})$
[/mm]
(Du musst ab hier nichts ausmultiplizieren oder so! Das ist das fertige Ergebnis, wenn du die [mm] c_{i} [/mm] und [mm] x_{i} [/mm] durch deine errechneten bzw. bekannten Zahlen ersetzt hast, denn das ist das Interpolationspolynom in der Basis der Newton-Polynome).
Grüße,
Stefan
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Okay Alles Klar!!!
Vielen Dank für deine Zeit und Mühe !!!!
Ich werde nun mal die Aufgabe bis zum Ende lösen und das Ergebniss dann posten...
Vielen Dank
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Hallo,
Die Werte müsst ihr nicht überprüfen. Ist nicht so wichtig...Dank Stefan weiß ich ja den Rechenweg, darauf kommst ja an
$ [mm] y_{0,0} [/mm] = [mm] f(x_{0}) [/mm] = [mm] -\frac{5}{6} [/mm] $
$ [mm] y_{1,1} [/mm] = [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] \frac{5}{6} [/mm] $
$ [mm] y_{2,2} [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] = [mm] \frac{11}{3} [/mm] $
$ [mm] y_{3,3} [/mm] = [mm] f(x_{3}) [/mm] = [mm] \frac{70}{3} [/mm] $
[mm] y_{0,2} [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
[mm] y_{1,3} [/mm] = [mm] \frac{7}{3}
[/mm]
[mm] y_{2,3} [/mm] = [mm] \frac{59}{6}
[/mm]
[mm] c_0 [/mm] = [mm] -\frac{5}{6}
[/mm]
[mm] c_1 [/mm] = [mm] \frac{5}{6}
[/mm]
[mm] c_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
[mm] c_3 [/mm] = [mm] \frac{5}{15}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = -1
[mm] x_1 [/mm] = 1
[mm] x_2 [/mm] = 2
[mm] x_3 [/mm] = 4
Hab hier nur nochmal eine Frage. Was ist denn x? Was muss ich für x einsetzten?
$ = [mm] c_{0} [/mm] + [mm] c_{1}\cdot{}(x-x_{0}) [/mm] + [mm] c_{2}\cdot{}(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1}) [/mm] + [mm] c_{3}\cdot{}(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1})\cdot{}(x-x_{2}) [/mm] $
= $ = [mm] -\frac{5}{6} [/mm] + [mm] \frac{5}{6}\cdot{}(x-(-1)) [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1) [/mm] + [mm] \frac{5}{15}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1)\cdot{}(x-2) [/mm] $
Viele Grüße
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Hallo,
> [mm]y_{0,0} = f(x_{0}) = -\frac{5}{6}[/mm]
> [mm]y_{1,1} = f(x_{1}) = \frac{5}{6}[/mm]
>
> [mm]y_{2,2} = f(x_{2}) = \frac{11}{3}[/mm]
> [mm]y_{3,3} = f(x_{3}) = \frac{70}{3}[/mm]
>
> [mm]y_{0,2}[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
> [mm]y_{1,3}[/mm] = [mm]\frac{7}{3}[/mm]
> [mm]y_{2,3}[/mm] = [mm]\frac{59}{6}[/mm]
>
> [mm]c_0[/mm] = [mm]-\frac{5}{6}[/mm]
> [mm]c_1[/mm] = [mm]\frac{5}{6}[/mm]
> [mm]c_2[/mm] = [mm]\frac{2}{3}[/mm]
> [mm]c_3[/mm] = [mm]\frac{5}{15}[/mm]
>
> [mm]x_0[/mm] = -1
> [mm]x_1[/mm] = 1
> [mm]x_2[/mm] = 2
> [mm]x_3[/mm] = 4
>
> Hab hier nur nochmal eine Frage. Was ist denn x? Was muss
> ich für x einsetzten?
Na, nichts
Es soll doch am Ende ein Interpolations-Polynon herauskommen, also brauchen wir schon noch ein x, sonst ist's ja nur eine Konstante!
> [mm]\red{p(x)}= c_{0} + c_{1}\cdot{}(x-x_{0}) + c_{2}\cdot{}(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1}) + c_{3}\cdot{}(x-x_{0})\cdot{}(x-x_{1})\cdot{}(x-x_{2})[/mm]
>
> = [mm]= -\frac{5}{6} + \frac{5}{6}\cdot{}(x-(-1)) + \frac{2}{3}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1) + \frac{5}{15}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1)\cdot{}(x-2)[/mm]
Die Werte stimmen alle!
Das kannst du auch selbst überprüfen, indem du zur Kontrolle noch mal für x die Stützstellen [mm] x_{i} [/mm] einsetzt und schaust, ob [mm] f(x_{i}) [/mm] rauskommt.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
Achja die Probe...
> Das kannst du auch selbst überprüfen, indem du zur Kontrolle noch mal für x die Stützstellen $ [mm] x_{i} [/mm] $ einsetzt und schaust, ob $ [mm] f(x_{i}) [/mm] $ rauskommt.
Also du meinst hier einsetzten? Oder versteh ich das jetzt falsch?Hab indem Fall noch nie eine Probe durchgeführt...
Stützstelle $ [mm] x_1 [/mm] $ = 1 = x
[mm] -\frac{5}{6} [/mm] + [mm] \frac{5}{6}\cdot{}(x-(-1)) [/mm] + [mm] \frac{2}{3}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1) [/mm] + [mm] \frac{5}{15}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1)\cdot{}(x-2) [/mm] $
Viele Grüße
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Hallo,
> Hallo,
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> Achja die Probe...
> > Das kannst du auch selbst überprüfen, indem du zur
> Kontrolle noch mal für x die Stützstellen [mm]x_{i}[/mm] einsetzt
> und schaust, ob [mm]f(x_{i})[/mm] rauskommt.
>
> Also du meinst hier einsetzten? Oder versteh ich das jetzt
> falsch?Hab indem Fall noch nie eine Probe durchgeführt...
>
> Stützstelle [mm]x_1[/mm] = 1 = x
>
> [mm]p(x) = -\frac{5}{6}[/mm] + [mm]\frac{5}{6}\cdot{}(x-(-1))[/mm] +
> [mm]\frac{2}{3}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1)[/mm] +
> [mm]\frac{5}{15}\cdot{}(x-(-1))\cdot{}(x-1)\cdot{}(x-2)[/mm] $
Das Interpolationspolynom p(x), dass du mit Hilfe der Newton'schen Polynome und den Dividierten Differenzen bestimmt, soll doch die Interpolationsaufgabe lösen! Mit anderen Worten: Wenn du das Polynom bestimmt hast, muss auf jeden Fall gelten:
[mm] $p(x_{i}) [/mm] = [mm] f(x_{i})$
[/mm]
(Die Funktionswerte des Interpolationspolynoms an den Stützstellen sollen gleich denen der Funktion an den Stützstellen sein).
Und genau diese Eigenschaft überprüfst du jetzt. Du setzt $x= 1 = [mm] x_{1}$ [/mm] in dein Interpolationspolynom p(x) ein:
[mm] $p(x_{1}) [/mm] = p(1) = [mm] -\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\cdot{}(\red{1}-(-1))+\frac{2}{3}\cdot{}(\red{1}-(-1))\cdot{}(\red{1}-1)+\frac{5}{15}\cdot{}(\red{1}-(-1))\cdot{}(\red{1}-1)\cdot{}(\red{1}-2)$
[/mm]
$= [mm] -\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\cdot{}(\red{1}-(-1))$
[/mm]
$= [mm] \frac{5}{6} [/mm] = [mm] f(x_{1})$.
[/mm]
Stimmt also schonmal
Die "beste" Überprüfung, wenn du nur eine machen willst, ist aber, [mm] f(x_{3}) [/mm] = [mm] p(x_{3}), [/mm] also die letzte Stützstelle zu überprüfen. Wie du oben siehst, ist ja völlig egal, welche Werte du für [mm] c_{2} [/mm] und [mm] c_{3} [/mm] ermittelt hast, sie fallen wegen dem Linearfaktor (x-1) völlig aus der Rechnung raus, wenn du $x =1 = [mm] x_{1}$ [/mm] einsetzt.
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
alles klar, nun weiß ich Bescheid.
Hoffe so eine Aufgabe kommt auch dran...
Vielen Dank nochmals !!!!
Viele Grüße
(sorry sollte eine Mittelung sein)
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