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Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:31 Mi 09.05.2012
Autor: saendra

Aufgabe
Schönen Abend an alle. :-)
Ich soll mit Hilfe des Newton-Verfahren ein Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] aufzustellen, das ohne Division auskommt.

$ [mm] (0,\infty )\to \mathbb [/mm] R,\ [mm] f(x)=ax^2-1 [/mm] $ ist eine Funktion, deren Nullstelle gleich $ [mm] \frac{1}{\sqrt{a}} [/mm] $ ist.

Da ihre Ableitung im Verfahren aber im Nenner steht, geht das ja nicht. $ f $ kann ich aber umformen:

$ [mm] f(x)=ax^2-1=0 \iff \underbrace{a-\bruch{1}{x^2}}_{:=\tilde f(x)}=0 [/mm] $ und wenn ich von diesem $ [mm] \tilde [/mm] f(x) $ die Ableitung nehme: $ [mm] \tilde f'(x)=\bruch{2}{x^3} [/mm] $ und diese dann in das Verfahren einsetze:

$ [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3) [/mm] $ dann klappt das, wenn ich z.B. 2 einsetze, dass dann $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ herauskommt.

Ich frage mich nur warum? $ [mm] \tilde [/mm] f' $ ist ja nicht die Ableitung von $ f $, obwohl dies laut der Newton-Verfahrensvorschrift doch sein müsste! Könnt ihr mir helfen?

        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Do 10.05.2012
Autor: leduart

Hallo
es muss ja nicht unbedingt die erste Funktion f sein, auf die du Newton anwendest, du machst halt - richtig- das newtonverfahren fuer die fkt [mm] g(x)=a-\bruch{1}{x^2} [/mm]
und nicht fuer die fkt [mm] f(x)=ax^2-1 [/mm]
deshalb hat das natuerlich auch nichts mit f' sondern nur mit g" zu tun.
allerdings sagt dir deine Umformung, dass f und g die gleichen Nst. hat obwohl es sehr verschiedene fkt sind.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 Do 10.05.2012
Autor: saendra

Danke.

Aber das Verfahren lautet doch $ [mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] $

[mm] f(x_n) [/mm] ist bei mir [mm] f(x_n)=ax_n^2-1 [/mm], aber [mm] f'(x_n) [/mm] nicht [mm] f'(x_n)=2ax_n [/mm], sondern [mm] g'(x_n)=\bruch{2}{x^3} [/mm]

und ich setze ja [mm] f_ [/mm] in den Zähler und $ g' $ in den nenner ein. Das dürfte dann doch eig. nicht funktionieren, oder?

Bezug
                        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Do 10.05.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Danke.
>
> Aber das Verfahren lautet doch
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}[/mm]
>
> [mm]f(x_n)[/mm] ist bei mir [mm]f(x_n)=ax_n^2-1 [/mm], aber [mm]f'(x_n)[/mm] nicht
> [mm]f'(x_n)=2ax_n [/mm], sondern [mm]g'(x_n)=\bruch{2}{x^3}[/mm]
>
> und ich setze ja [mm]f_[/mm] in den Zähler und [mm]g'[/mm] in den nenner
> ein. Das dürfte dann doch eig. nicht funktionieren, oder?


nein, aber so hat leduart es ja auch nicht gemeint. Du benutzt ersatzweise die Funktion g mit

[mm] g(x)=a-\bruch{1}{x^2} [/mm]

da sie ebenfalls die Nullstelle [mm] 1/\wurzel{a} [/mm] besitzt. Es steht somit die Rekursion

[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{g(x_n)}{g'(x_n)} [/mm]

da, die tatstächlich eine ganzrationale Iterationvorschrift besitzt, d.h., unter dem Bruchstrrich steht kein x.

Und, btw: funktionieren tut es auch. :-)


Gruß, Diophant


Bezug
        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Do 10.05.2012
Autor: fred97


> Schönen Abend an alle. :-)
>  Ich soll mit Hilfe des Newton-Verfahren ein
> Iterationsverfahren zur Berechnung von [mm]\frac{1}{\sqrt{a}}[/mm]
> aufzustellen, das ohne Division auskommt.
>  [mm](0,\infty )\to \mathbb R,\ f(x)=ax^2-1[/mm] ist eine Funktion,
> deren Nullstelle gleich [mm]\frac{1}{\sqrt{a}}[/mm] ist.
>  
> Da ihre Ableitung im Verfahren aber im Nenner steht, geht
> das ja nicht. [mm]f[/mm] kann ich aber umformen:
>  
> [mm]f(x)=ax^2-1=0 \iff \underbrace{a-\bruch{1}{x^2}}_{:=\tilde f(x)}=0[/mm]
> und wenn ich von diesem [mm]\tilde f(x)[/mm] die Ableitung nehme:
> [mm]\tilde f'(x)=\bruch{2}{x^3}[/mm] und diese dann in das Verfahren
> einsetze:
>  
> [mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3)[/mm]
> dann klappt das, wenn ich z.B. 2 einsetze, dass dann
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] herauskommt.


Leduart und Diophant haben das Wesentliche schon gesagt. Aber...

Du sagst , das Verfahren


[mm]x_{n+1}=x_n-\bruch{ax^2-1}{\bruch{2}{x^3}}=x_n-0,5(ax^5-x^3)[/mm]

würde "klappen" ?

Das halte ich für ein Gerücht. Wie kommst Du drauf ?

FRED

>  
> Ich frage mich nur warum? [mm]\tilde f'[/mm] ist ja nicht die
> Ableitung von [mm]f [/mm], obwohl dies laut der
> Newton-Verfahrensvorschrift doch sein müsste! Könnt ihr
> mir helfen?


Bezug
                
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Newton-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:24 Do 10.05.2012
Autor: saendra

Ohjöö ohjöö ich hab zu kompliziert gedacht, tut mir echt leid! Jetzt hab ichs selber auch gesehen...

Vielen Dank für eure Hilfe!

[kuss]

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