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Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:04 Sa 22.01.2011
Autor: godlikeboy

Aufgabe
Ziel dieser Aufgabe ist die numerische Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems
[mm] x_{2}^2=2x_{1}-1 [/mm]
[mm] x_{1}^3 +4x_{2}=0 [/mm]
Führen Sie einen Schritt mit dem Newton-Verfahren durch. Verwenden Sie x^(0) =(1 [mm] 1)^T [/mm] als Startwert.
Geben Sie Ihr Ergebnis exakt an!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie genau muss ich hier das Newton-Verfahren anwenden? Auch irretiert mich dass der Startwert als Vektor angegeben wird. Bitte um Hilfe.

        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 Sa 22.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Ziel dieser Aufgabe ist die numerische Lösung des
> nichtlinearen Gleichungssystems
>  [mm]x_{2}^2=2x_{1}-1[/mm]
>  [mm]x_{1}^3 +4x_{2}=0[/mm]

Statt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] würde ich lieber x und y verwenden !!
Für das Rechnen mit Papier und Bleistift ist dies praktischer.


>  Führen Sie einen Schritt mit dem
> Newton-Verfahren durch. Verwenden Sie  [mm] $\vec{x}_0\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\1}$ [/mm]  als
> Startwert.
>  Geben Sie Ihr Ergebnis exakt an!
>  
> Wie genau muss ich hier das Newton-Verfahren anwenden? Auch
> irritiert mich dass der Startwert als Vektor angegeben
> wird. Bitte um Hilfe.

Da wir zwei Gleichungen simultan lösen wollen, brauchen
wir das Newton-Verfahren für eine Funktion  [mm] f:\IR^2\to\IR^2 [/mm]

Schau mal da nach:

[]Das Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen

(so was ähnliches habt ihr doch sicher behandelt ...)

Mach dir zuerst klar, welche Funktion f hier in Frage kommt
und bestimme dann ihre Jacobi-Matrix sowie deren Inverse.

Dann kann man durch Einsetzen in die Formel

       [mm] $\vec{x}_{neu}\ [/mm] =\ [mm] N_f(\vec{x}):=\ \vec{x}-(J(\vec{x}))^{-1}f(\vec{x})$ [/mm]

einen Näherungsschritt durchführen.


LG    Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Sa 22.01.2011
Autor: godlikeboy

so ich habe nun die Jakobi Matrix und die Inverse berechnet. Diese lauten bei [mm] mir:\pmat{ -2 & 2y \\ 3x² & 4 } [/mm]
sowie
[mm] \begin{pmatrix} -4 / (-8-6x²y)& 2y/(-8-6x²y) \\ -3x^2 / (-8-6x²y) & -2/(-8-6x²y) \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt ist halt die Frage welche ist meine Funktion f(x), die ich nehmen soll? Oder ist das egal.

Bezug
                        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:17 Sa 22.01.2011
Autor: ullim

Hi,

wenn Deine Gleichungen

[mm] y^2=2\cdot{x}-1 [/mm] und [mm] x^3+4\cdot{y}=0 [/mm] lauten ist die Jakobi Matrix bei Dir falsch. Es kommt dann

[mm] \pmat{ 2 & -2*y \\ 3*x^2 & 4 } [/mm] heraus. Damit ist dann auch die Inverse falsch.

Die Rechnung sieht dann so aus

[mm] \vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=\vektor{x_n \\ y_n}-\pmat{\br{\partial}{\partial{x}}f_1(x_n,y_n) & \br{\partial}{\partial{y}}f_1(x_n,y_n) \\ \br{\partial}{\partial{x}}f_2(x_n,y_n) & \br{\partial}{\partial{y}}f_2(x_n,y_n) }^{-1}*\vektor{f_1(x_n,y_n) \\ f_2(x_n,y_n)} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Sa 22.01.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> so ich habe nun die Jakobi Matrix und die Inverse
> berechnet. Diese lauten bei [mm]mir:\pmat{ -2 & 2y \\ 3x² & 4 }[/mm]
>  
> sowie
>  [mm] \begin{pmatrix} -4 / (-8-6x²y)& 2y/(-8-6x²y) \\ -3x^2 / (-8-6x²y) & -2/(-8-6x²y) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Jetzt ist halt die Frage welche ist meine Funktion f(x),
> die ich nehmen soll? Oder ist das egal.


Naja, wenn du schon eine Jacobi-Matrix bestimmt hast,
dann bist du doch offenbar schon von einer Funktion [mm] f(\vec{x}) [/mm]
ausgegangen, ich vermute:

      $\ [mm] f(\vec{x})\ [/mm] =\ [mm] f\left(\pmat{x\\y}\right)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{y^2-2x+1\\x^3+4y}$ [/mm]

Leider hast du beim Schreiben diese verfluchten Tastatur-
Exponenten 2 und 3 verwendet, die von TeX nicht erkannt
werden, und dann hast du dich wohl genau deswegen bei
den Ableitungen selbst verrechnet.
Also: eine der vier Komponenten deiner Jacobi-Matrix ist
(oder erscheint jedenfalls) falsch .


LG    Al-Chw.



Bezug
                                
Bezug
Newton-Verfahren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Sa 22.01.2011
Autor: godlikeboy

Ja stimmt. Danke da wurde ein Quadrat verschluckt^^

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