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| Aufgabe | | sei q(x)= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x*Ax + b*x (x* bzw. b* sind transponierte x bzw. b) eine quadratische Funktion mit positiv definitem A. Zeigen sie, dass das Newton-Verfahren bei beliebigem Starpunkt [mm] x_{0} [/mm] das globale Minimum in einem Schritt findet. |
Hallo zusammen,
ich sitze jetzt schon seit Stunden an dieser Aufgabe und habe auch schon etwas geschafft. Hoffe nur, dass ich das Newton-Verfahren richtig angewandt habe.
Jedenfalls habe ich zunächst, da es sich ja um ein Polynom handelt, den Gradienten gebildet, weil dieser in diesem Fall der Jacobi-Matri entspricht.
Dann habe ich ein h gesucht, für welches gilt: gradq(x) [mm] \* [/mm] h = - q(x)
Nach einigen vielen und komplizierten Umformungen bin ich auf h=x gekommen!?
somit gilt: [mm] x_{k+1}= x_{k} [/mm] + h = [mm] x_{k} [/mm] + [mm] x_{k} [/mm] = 2 [mm] x_{k}
[/mm]
sei nun [mm] x_{0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ ... \\ 0} \rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ ... \\ 0}
[/mm]
außerdem: q( [mm] x_{0}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} a_{11} [/mm] + [mm] b_{1} [/mm] und q( [mm] x_{1}) [/mm] = 2 [mm] a_{11} [/mm] + 2 [mm] b_{1}
[/mm]
Also ich bräuchte jetzt, falls bis hierhin alles stimmt, Hilfe dabei zu zeigen, dass q( [mm] x_{1}) [/mm] das globale Minimum darstellt und ansonsten wärs nett, wenn ihr mir sagen könntet, wo meine Fehler liegen!?
Danke im Voraus. Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 14.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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