Newton-Verfahren < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mi 27.08.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] g:\IR^{2} \mapsto\IR, [/mm] g(x,y) [mm] \mapsto [/mm] sin(x)cos(y)-3xy
Zur Bestimmung lokaler Extrema soll das Newton Verfahren eingesetzt werden.
1. Bringen Sie das obige Problem auf eine Form, in der das Newton-Verfahren verwendet werden kann.
2. Formulieren Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung lokaler Extrema von g. (Hierbei genügt die abstrakte Formulierung mit expliziter Darstellung der verwendeten Operatoren) |
Hi,
wie müsste man bei 1. vorgehen?
Newton-Verfahren hat die Form [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \frac{f(x_{n})}{f^{1}(x_{n})}
[/mm]
Da wir im [mm] \IR^{2} [/mm] sind, müsste [mm] x_{n} [/mm] = (x,y) sein. f(x) = g(x,y). D.h. oben im Zähler hätte ich ein Skalar und der Nenner wäre ein Vektor, da ich einmal nach x und einmal nach y ableiten würde.
Aber von der Form her passt das nicht. Denn als Ergebnis möchte ich wieder ein Vektor der Form (x,y).
Wie also geht man dabei vor?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte.
Gruß
ttl
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Hallo,
> Gegeben sei die Funktion
> [mm]g:\IR^{2} \mapsto\IR,[/mm] g(x,y) [mm]\mapsto[/mm] sin(x)cos(y)-3xy
>
> Zur Bestimmung lokaler Extrema soll das Newton Verfahren
> eingesetzt werden.
>
> 1. Bringen Sie das obige Problem auf eine Form, in der das
> Newton-Verfahren verwendet werden kann.
>
> 2. Formulieren Sie das Newton-Verfahren zur Bestimmung
> lokaler Extrema von g. (Hierbei genügt die abstrakte
> Formulierung mit expliziter Darstellung der verwendeten
> Operatoren)
> Hi,
>
> wie müsste man bei 1. vorgehen?
>
> Newton-Verfahren hat die Form [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] -
> [mm]\frac{f(x_{n})}{f^{1}(x_{n})}[/mm]
>
> Da wir im [mm]\IR^{2}[/mm] sind, müsste [mm]x_{n}[/mm] = (x,y) sein. f(x) =
> g(x,y). D.h. oben im Zähler hätte ich ein Skalar und der
> Nenner wäre ein Vektor, da ich einmal nach x und einmal
> nach y ableiten würde.
> Aber von der Form her passt das nicht. Denn als Ergebnis
> möchte ich wieder ein Vektor der Form (x,y).
>
> Wie also geht man dabei vor?
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand dabei behilflich
> sein könnte.
Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren beackern könnte.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mi 27.08.2014 | | Autor: | ttl |
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> Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> beackern könnte.
>
>
> Gruß, Diophant
Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
sin(x)cos(y) = [mm] \frac{1}{2}(sin(x-y) [/mm] + sin(x+y))
Mir ist gerade etwas eingefallen. Wenn man die lokalen Extrema bestimmen will, braucht man die 1. Ableitung. Denn die 1. Ableitung wird 0 gesetzt. D.h. wir berechnen zuerst den Gradienten.
F = [mm] g(x,y)^{(1)}:\IR^{2} \mapsto \IR^{2}, [/mm] d.h. bilden in [mm] \IR^{2} [/mm] ab.
F = [mm] \vektor{cos(x)cos(y) -3y \\ -sin(x)sin(y) - 3x}
[/mm]
Wenn man als nächstes die Jacobi Matrix DF berechnet hat, müsste man doch in der Lage sein, das Newton-Verfahren anwenden zu können.
DF = [mm] \pmat{-sin(x)cos(y) & -cos(x)sin(y) -3 \\ -cos(x)sin(y) - 3 & -sin(x)cos(y)}
[/mm]
Somit folgt [mm] \vektor{x_{n+1}, y_{n+1}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{n}, y_{n}} [/mm] - [mm] DF(x_{n},y_{n})^{-1} \cdot F(x_{n},y_{n})
[/mm]
Was hältst du davon? Sollte doch eigentlich funktionieren.
Wie wärst du mit deinem Vorschlag genau vorgegangen?
Gruß
ttl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mi 27.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> > beackern könnte.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
>
> Mir ist gerade etwas eingefallen. Wenn man die lokalen
> Extrema bestimmen will, braucht man die 1. Ableitung. Denn
> die 1. Ableitung wird 0 gesetzt. D.h. wir berechnen zuerst
> den Gradienten.
>
> F = [mm]g(x,y):\IR^{2} \mapsto \IR^{2},[/mm] d.h. bilden in [mm]\IR^{2}[/mm]
???? g ist reellwertig !!!
> ab.
> F = [mm]\vektor{cos(x)cos(y) -3y \\ -sin(x)sin(y) - 3x}[/mm]
Du meinst hier wohl F:=g'
>
> Wenn man als nächstes die Jacobi Matrix DF berechnet hat,
> müsste man doch in der Lage sein, das Newton-Verfahren
> anwenden zu können.
>
> DF = [mm]\pmat{-sin(x)cos(y) & -cos(x)sin(y) -3 \\ -cos(x)sin(y) - 3 & -sin(x)cos(y)}[/mm]
>
> Somit folgt [mm]\vektor{x_{n+1}, y_{n+1}}[/mm] = [mm]\vektor{x_{n}, y_{n}}[/mm]
> - [mm]DF(x_{n},y_{n})^{-1} \cdot F(x_{n},y_{n})[/mm]
>
>
> Was hältst du davon? Sollte doch eigentlich
> funktionieren.
Ja
FRED
>
> Wie wärst du mit deinem Vorschlag genau vorgegangen?
>
> Gruß
> ttl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 27.08.2014 | | Autor: | ttl |
> > Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> > sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
> >
> > Mir ist gerade etwas eingefallen. Wenn man die lokalen
> > Extrema bestimmen will, braucht man die 1. Ableitung. Denn
> > die 1. Ableitung wird 0 gesetzt. D.h. wir berechnen zuerst
> > den Gradienten.
> >
> > F = [mm]g(x,y):\IR^{2} \mapsto \IR^{2},[/mm] d.h. bilden in [mm]\IR^{2}[/mm]
>
>
> ???? g ist reellwertig !!!
>
Ja du hast recht. Es hätte g' sein müssen. Ich werde es gleich verbessern.
Gruß
ttl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 27.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> > beackern könnte.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
>
> Mir ist gerade etwas eingefallen. Wenn man die lokalen
> Extrema bestimmen will, braucht man die 1. Ableitung. Denn
> die 1. Ableitung wird 0 gesetzt. D.h. wir berechnen zuerst
> den Gradienten.
>
> F = [mm]g(x,y)^{(1)}:\IR^{2} \mapsto \IR^{2},[/mm] d.h. bilden in
> [mm]\IR^{2}[/mm] ab.
> F = [mm]\vektor{cos(x)cos(y) -3y \\ -sin(x)sin(y) - 3x}[/mm]
>
> Wenn man als nächstes die Jacobi Matrix DF berechnet hat,
> müsste man doch in der Lage sein, das Newton-Verfahren
> anwenden zu können.
>
> DF = [mm]\pmat{-sin(x)cos(y) & -cos(x)sin(y) -3 \\ -cos(x)sin(y) - 3 & -sin(x)cos(y)}[/mm]
>
> Somit folgt [mm]\vektor{x_{n+1}, y_{n+1}}[/mm] = [mm]\vektor{x_{n}, y_{n}}[/mm]
> - [mm]DF(x_{n},y_{n})^{-1} \cdot F(x_{n},y_{n})[/mm]
>
>
> Was hältst du davon? Sollte doch eigentlich
> funktionieren.
ja, Du wendest halt die mehrdimensionale Version an. Fred hat es schon
bestätigt, aber Du kannst es auch nachlesen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren#Das_Newton-Verfahren_im_Mehrdimensionalen
(Sonstige Literatur: Etwa "Numerische Mathematik" von Schwarz/Kockler!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 27.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> > beackern könnte.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
>
> Mir ist gerade etwas eingefallen. Wenn man die lokalen
> Extrema bestimmen will, braucht man die 1. Ableitung. Denn
> die 1. Ableitung wird 0 gesetzt. D.h. wir berechnen zuerst
> den Gradienten.
>
> F = [mm]g(x,y)^{(1)}:\IR^{2} \mapsto \IR^{2},[/mm] d.h. bilden in
> [mm]\IR^{2}[/mm] ab.
> F = [mm]\vektor{cos(x)cos(y) -3y \\ -sin(x)sin(y) - 3x}[/mm]
>
> Wenn man als nächstes die Jacobi Matrix DF berechnet hat,
> müsste man doch in der Lage sein, das Newton-Verfahren
> anwenden zu können.
>
> DF = [mm]\pmat{-sin(x)cos(y) & -cos(x)sin(y) -3 \\ -cos(x)sin(y) - 3 & -sin(x)cos(y)}[/mm]
>
> Somit folgt [mm]\vektor{x_{n+1}, y_{n+1}}[/mm] = [mm]\vektor{x_{n}, y_{n}}[/mm]
> - [mm]DF(x_{n},y_{n})^{-1} \cdot F(x_{n},y_{n})[/mm]
>
>
> Was hältst du davon? Sollte doch eigentlich
> funktionieren.
>
> Wie wärst du mit deinem Vorschlag genau vorgegangen?
es war
g(x,y)=sin(x)cos(y)-3xy.
Also
[mm] $g_x(x,y)=\cos(x)\cos(y)-3y$
[/mm]
und
[mm] $g_y(x,y)=-\sin(x)\sin(y)-3x\,.$
[/mm]
Was jetzt auffällt, ist, dass mit [mm] $z:=x+y\,$ [/mm] insbesondere
[mm] $0=0+0=g_x(x,y)+g_y(x,y)=\cos(x+y)-3(x+y)=\cos(z)-3z\,$
[/mm]
gilt. (Hierbei sind [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit [mm] $g_x(x,y)=g_y(x,y)\stackrel{!}{=}0$.)
[/mm]
Ich glaube, auf sowas wollte Diophant hinaus. Wie es dann weitergehen
sollte, müßte er vielleicht auch selbst noch erklären?!
(Weil: Wir haben nur eine notwendige Gleichung hergeleitet. Ob oder
ggf. warum die auch hinreichend ist, ist ja so direkt nun gar nicht klar...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Do 28.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> >
> > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> > beackern könnte.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
>
Ja, sorry: das meinte ich natürlich, aber manchmal machen die Finger nicht das, was der Kopf befiehlt.
Das war ja auch eher 'sophisiticated', die Idee über den Gradienten ist hier vermutlich die angedachte.
Gruß, Diophant
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Hallo nochmals,
> >
> > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an, so
> > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man nun
> > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich Null
> > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution eine
> > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem Newton-Verfahren
> > beackern könnte.
> >
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
Ja, wie schon gesagt: genau das meinte ich. Und es ist wichtig, dass man zuerst das Theorem anwendet und dann erst ableitet (sonst klappt es zumindest bei meinen bisherigen Bemühungen nicht).
Wendet man obiges Theorem an, bildet die partiellen Ableitungen, setzt beide gleich Null und addiert dann erhält man
cos(x+y)-3(x+y)=0
Subtraktion liefert eine weitere Gleichung. So kann man für die Summe x+y und die Differenz x-y jeweils Näherungswerte berechnen und darüber auch die eigentlich gesuchten.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo nochmals,
>
> > >
> > > Wende mal auf sin(x)*sin(y) ein geeignetes Theorem an,
> so
> > > dass die Funktion nur noch Sinusterme (und den
> > > algebraischen Summanden natürlich) enthält. Wenn man
> nun
> > > die beiden partiellen Ableitungen bildet und gleich
> Null
> > > setzt, bekommt man nach einer kleinen Substitution
> eine
> > > Gleichung der Form f(z)=0, die man mit dem
> Newton-Verfahren
> > > beackern könnte.
> > >
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > Du meinst wohl sin(x)cos(y)?!
> > sin(x)cos(y) = [mm]\frac{1}{2}(sin(x-y)[/mm] + sin(x+y))
>
> Ja, wie schon gesagt: genau das meinte ich. Und es ist
> wichtig, dass man zuerst das Theorem anwendet und dann erst
> ableitet (sonst klappt es zumindest bei meinen bisherigen
> Bemühungen nicht).
ich hab's doch in meiner Antwort genau anders herum gemacht, erst
abgeleitet, dann das Theorem
[mm] $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$
[/mm]
nach Addition der beiden resultierenden Gleichungen angewendet. Wieso
sollte das nicht klappen? Mit [mm] $z=x+y\,$ [/mm] kam ich auch auf
[mm] $\cos(z)-3z=0\,.$
[/mm]
> Wendet man obiges Theorem an, bildet die partiellen
> Ableitungen, setzt beide gleich Null und addiert dann
> erhält man
>
> cos(x+y)-3(x+y)=0
>
> Subtraktion liefert eine weitere Gleichung.
Das fehlte mir!
> So kann man
> für die Summe x+y und die Differenz x-y jeweils
> Näherungswerte berechnen und darüber auch die eigentlich
> gesuchten.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Do 28.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> > Subtraktion liefert eine weitere Gleichung.
>
> Das fehlte mir!
Und mir das:
[mm] cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
[/mm]
Ich hatte mit dem falschen Theorem weitergearbeitet.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > > Subtraktion liefert eine weitere Gleichung.
> >
> > Das fehlte mir!
>
> Und mir das:
>
> [mm]cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)[/mm]
>
> Ich hatte mit dem falschen Theorem weitergearbeitet.
kein Problem. Aber ich glaube, das wichtigste ist, dass wir jetzt sehen, wie
wir Deinen Ansatz (egal, auf welche Weise) vervollständigen können. (Mir
war nicht klar, dass Du auf zwei Gleichungen hinaus wolltest. Aber eigentlich
ist es ja logisch - aber wie immer: Hinterher bin ich (fast) immer schlauer.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Do 28.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> kein Problem. Aber ich glaube, das wichtigste ist, dass wir
> jetzt sehen, wie
> wir Deinen Ansatz (egal, auf welche Weise)
> vervollständigen können. (Mir
> war nicht klar, dass Du auf zwei Gleichungen hinaus
> wolltest. Aber eigentlich
> ist es ja logisch - aber wie immer: Hinterher bin ich
> (fast) immer schlauer. )
Ich geb ja gerne 'erste Anstöße'. Hier war das in der Rückschau vielleicht zu minimalistisch, aber ich hab ja noch nachgelegt. Allerdings ist ja, vor allem wenn man die zweite Frage berücksichtigt, sicherlich die mehrdimensionale Variante die angedachte. Der Trick mit den trigonometrischen Theoremen ist mir halt beim Lesen der Aufgabe spontan einfgefallen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Do 28.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> > kein Problem. Aber ich glaube, das wichtigste ist, dass
> wir
> > jetzt sehen, wie
> > wir Deinen Ansatz (egal, auf welche Weise)
> > vervollständigen können. (Mir
> > war nicht klar, dass Du auf zwei Gleichungen hinaus
> > wolltest. Aber eigentlich
> > ist es ja logisch - aber wie immer: Hinterher bin ich
> > (fast) immer schlauer. )
>
> Ich geb ja gerne 'erste Anstöße'. Hier war das in der
> Rückschau vielleicht zu minimalistisch,
das ist schon okay. Man kann ja nachfragen. 
> aber ich hab ja noch nachgelegt. Allerdings ist ja, vor allem wenn man
> die zweite Frage berücksichtigt, sicherlich die
> mehrdimensionale Variante die angedachte. Der Trick mit den
> trigonometrischen Theoremen ist mir halt beim Lesen der
> Aufgabe spontan einfgefallen.
Ich finde den Ansatz gut - direkt gesehen hatte ich den auch nicht. Aber
oft muss man halt auch einfach mal ein bisschen was rechnen und
hinschreiben, um Ideen zu bekommen.
Gruß,
Marcel
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