Neumann´sche Reihe (Beweis) < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Tina1980 |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in \IC [/mm] (nxn) eine Matrix mit [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] <1 mit einer beliebigen Matrixnorm [mm] \parallel. \parallel. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] (I-A)^{-1}= \summe_{j=0}^{ \infty}A^{j} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich sitze schon seit drei Tagen vor dieser Aufgabe und finde leider gar keinen Anfang. Kann mir viell. jemand einen Tipp geben, wie ich anfangen kann? Ein erster Schritt würde mir vielleicht schon einen Denkanstoß geben. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
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Hallo Tina1980,
> Es sei A [mm]\in \IC[/mm] (nxn) eine Matrix mit [mm]\parallel[/mm] A
> [mm]\parallel[/mm] <1 mit einer beliebigen Matrixnorm [mm]\parallel. \parallel.[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm](I-A)^{-1}= \summe_{j=0}^{ \infty}A^{j}[/mm]
> Hallo zusammen!
> Ich sitze schon seit drei Tagen vor dieser Aufgabe und
> finde leider gar keinen Anfang. Kann mir viell. jemand
> einen Tipp geben, wie ich anfangen kann? Ein erster Schritt
> würde mir vielleicht schon einen Denkanstoß geben.
Als Denkanstoß würd' ich mir den Beweis für die Konvergenz der geometrisch Reihe anschauen. bzw, damit rumprobieren und überlegen was sich davon übertragen lässt.
Das [mm] (I-A)^{-1} [/mm] überhaupt existiert folgt aus dem Störungslemma.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 22.01.2006 | | Autor: | Tina1980 |
Hi mathemaduenn,
vielen Dank für deine Antwort. Der Tipp mit der geometrischen Reihe ist echt gut. Das Störungslemma hatten wir allerdings nicht. Gibt es noch einen anderen Weg weiterzukommen?
Tina1980
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Hallo Tina1980,
Du kannst versuchen zu zeigen das gilt:
[mm]||x||>0 \Rightarrow ||(I-A)x||>0[/mm]
Dies impliziert das I-A regulär ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 22.01.2006 | | Autor: | Tina1980 |
Hi mathemaduenn,
vielen Dank für deine Hilfe. Konnte deinen Hinweis gut gebrauchen und denke, dass ich so ein Stückchen weitergekommen bin. 
Tina1980
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