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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!
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Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 19:25 Do 19.08.2004
Autor: zwieback86

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

Hallo, ich möchte auch mal wieder eine neue Aufgabe posten.

Man bestimme alle Paare (x,y) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem

[mm] x^3 = y^2 - 1 [/mm]
[mm] x^2 = y + 1 [/mm]

erfüllen.

Ich habe die Aufgabe selber schon durchgerechnet, doch was mich daran verwundert hat, war der Zeitaufwand. Entweder die Aufgabe ist für die 11-13 Klasse viel zu einfach oder ich hab etwas falsch gemacht. Ich bin gespannt auf eure Lösungen.

mfg.
        
Bezug
Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Do 19.08.2004
Autor: Hanno

Hi.
Naja, nach Division der ersten durch die zweite Gleichung ist der Spuk wegen der dritten binomischen Formel schon vorbei. Hattest du das auch so gemacht?

Gruß,
Hanno
Bezug
                
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Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Do 19.08.2004
Autor: Stefan

Lieber Hanno!

  Naja, nach Division der ersten durch die zweite Gleichung
> ist der Spuk wegen der dritten binomischen Formel schon
> vorbei. Hattest du das auch so gemacht?

Das ist der erste Schritt, ja. Und dann setzt man diese Bedingung ein und kommt auf [...] Lösungen (das lasse ich noch mal offen für andere Schüler).

Liebe Grüße
Stefan  

Bezug
        
Bezug
Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Do 19.08.2004
Autor: Stefan

Hallo Peter!

Der Zeitaufwand (ca. 30 Sekunden ;-)) für die Lösung ist wirklich sehr klein. Mir erscheint die Aufgabe auch sehr einfach. Insofern hast du sie vermutlich richtig gerechnet.

Wer sie von den Schülern versuchen möchte: Schreibt eure Lösungsvorschläge hier rein, wir kontrollieren sie. :-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
        
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Neue Aufgabe Klasse 11-13 Runde 2!!: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:02 So 29.08.2004
Autor: Stefan

Hallo zusammen!

Da die Lösung anscheind keiner posten will, muss ich das eben tun:

Eine Lösung ist $(0,-1)$.

Für $x [mm] \ne [/mm] 0$ geht man wie von Hanno beschrieben vor und erhält:

$x=y-1$.

Eingesetzt in die zweite Gleichung liefert das

[mm] $x^2 [/mm] = x+2$,

was die beiden Lösungen [mm] $x_2=2$ [/mm] und [mm] $x_3=-1$ [/mm] (mit dazugehörigen [mm] $y_2=3$ [/mm] und [mm] $y_3=0$) [/mm] hat.

Die drei Lösungen sind also:

$(0,-1)$, $(2,3)$ und $(-1,0)$.


Probe:

[mm] $0^3 [/mm] = 0 = [mm] (-1)^2-1$ [/mm]
[mm] $0^2 [/mm] = 0 = (-1) + 1$

[ok]

[mm] $2^3 [/mm] = 8 = [mm] 3^2 [/mm] - 1$
[mm] $2^2 [/mm] = 4 = 4+1$

[ok]

[mm] $(-1)^3 [/mm] = - 1 = [mm] 0^2 [/mm] - 1$
[mm] $(-1)^2 [/mm] = 1 = 0+1$

[ok]

Liebe Grüße
Stefan
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