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Nebenklassenführer Syndrom: Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Do 10.05.2012
Autor: Mathegirl

Aufgabe
[mm] G=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0} [/mm] ist die Erzeugermatrix vom [6,4] Code

Bestimme für alle 8 Syndrome einen Nebenklassenführer!
Für welche Syndrome ist der Nebenklassenführer eindeutig bestimmt?

Decodiere die Worte nach ML: 110110, 000110, 111111

kann mir jemand erklären wie ich Nebenklassenführer zu einem Syndrom bestimme?

[mm] G=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0} [/mm] ist die Erzeugermatrix vom [6,4] Code

[mm] H=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0} [/mm]

dann sind die 8 Syndrome 000,100,010,001,110,101,011,111

Nur wie bestimmt man jetzt die Nebenklassenführer dazu?

Und wie decodiert man nach ML?


MfG
Mathegirl

        
Bezug
Nebenklassenführer Syndrom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Fr 11.05.2012
Autor: chesn

Hallo mathegirl!

Ich habe mich erstmal zur Bestimmung der Kontrollmatrix an []Wikipedia orientiert.
Da ist ein schönes Beispiel. So komme ich für die Kontrollmatrix auf:

[mm] H=\pmat{1&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1} [/mm]

So, deine Syndrome s hast du richtig, jetzt zu den Nebenklassenführern:

Das sind die Vektoren e, für die gilt: H*e=s, also hier:

[mm] H*e=\pmat{1&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1}*\pmat{e_1\\e_2\\...\\e_6}=(1,0,0) [/mm] für dein Syndrom s=100

Damit kommt man für das s in dem Beispiel auf den Nebenklassenführer e=(0,0,0,1,0,0). Der ist eindeutig, weil die Nebenklassenführer das gringst mögliche gewicht haben, d.h. so wenig 1en wie möglich enthalten sollen, wenn ich das richtig verstehe. So kannst du mit allen Syndromen weiter machen.
Übrigens sind alle ausser s=111 eindeutig wenn ich das richtig sehe.
Denn für s=111 gibt es mehrere möglichkeiten für ein e mit zwei 1en (und keine für nur eine 1).

Die Minimaldistanz von C ist die minimale Anzahl linear abhängiger Spaltenvektoren von H. Du siehst leicht, dass man mindestens 2 Spaltenvektoren aus H brauch, um einen dritten darzustellen, d.h. die minimale Anzahl der linear abhängigen Spaltenvektoren aus H beträgt 3.
Also: Minimaldistanz d(C)=3.

ML heisst Maximum-Likelihood, dazu musst du erstmal die möglichen Projektionen vom Klartextraum auf den Coderaum bestimmen.
Wenn also x ein Klartext ist, wird es codiert zu x*G=c wobei G deine Erzeugermatrix ist. Nehme also alle Möglichen Klartexte (sind die selben wie deine Syndrome oben). Beispiel:

[mm] x*G=(1,1,0)*\pmat{1&0&0&1&0&1\\0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&1&0}=(1,1,0,1,1,0)=c [/mm]

Wenn du jetzt zb. den Code 110111 nach ML entschlüsseln sollst, dann unterscheidet sich dein c aus dem Beispiel nur um 1 Stelle von 110111.
Wenn es sonst kein anderes c gibt, das sich um genauso viele oder weniger Stellen unterscheidet, dann ist dein gesuchter Klartext x der für den gilt:

x*G=110110 also x=110

Hoffe ich konnte das gut erklären.

Lieben Gruß,
chesn

Bezug
                
Bezug
Nebenklassenführer Syndrom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Fr 11.05.2012
Autor: Mathegirl

Vielen Dank für die tolle Erklärung, das ist mehr als nur super verständlich erklärt!!!! :) Hab nun alles bestens verstanden!!!!


Vielen Dank :)

Mathegirl

Bezug
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