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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:36 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Jack |
Hi Leute!
Ich habe mal wieder eine Frage. Es betrifft jeweils das Newton- und Sekantenverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen. Das Prinzip verstehe ich, die Frage ist nur, ob beide Verfahren bei jeder Funktion jeglicher Art anwendbar sind.
Ich vermute nicht! Denn ich glaube nicht, dass beide Verfahren anwendbar sind, wenn ein Nullpunkt zugleich ein Extrempunkt ist.
Wenn ihr noch was wisst, dann schreibt bitte. Ich wäre euch sehr dankbar!
Gruß Jack
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Hallo Jack,
> Hi Leute!
> Ich habe mal wieder eine Frage. Es betrifft jeweils das
> Newton- und Sekantenverfahren zur näherungsweisen
> Bestimmung von Nullstellen. Das Prinzip verstehe ich, die
> Frage ist nur, ob beide Verfahren bei jeder Funktion
> jeglicher Art anwendbar sind.
> Ich vermute nicht!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Denn ich glaube nicht, dass beide
> Verfahren anwendbar sind, wenn ein Nullpunkt zugleich ein
> Extrempunkt ist.
Na ja, das kommt wohl darauf an. Z.B. gilt ja für [mm]f(x) :=x^2[/mm]:
[mm]x_{i+1} := x_i - \frac{x_i^2}{2x_i} = \frac{2x_i}{2} - \frac{x_i}{2}=\frac{x_i}{2}=:\varphi\left(x_i\right)[/mm]
Und das diese Iterationsvorschrift funktioniert, sieht man auch ohne Taschenrechner.
> Wenn ihr noch was wisst, dann schreibt bitte.
Letztlich ist das wohl eines der (größeren (?)) Probleme der Numerik zu bestimmen wann ein Iterationsverfahren konvergiert (sich der Lösung nähert) und wann nicht. Da das Newton-Verfahren zur Klasse der Fixpunktiterationen (also Iterationsvorschriften der Art [mm]v_{i+1} := \xi\left(v_i\right)[/mm]) gehört, gibt es dafür den sogenannten Banachschen Fixpunktsatz mit dem man ganz formal zeigen kann, wann eine Fixpunktiteration zu genau einem Fixpunkt konvergiert. Nur leider ist es so, daß wenn eine solche Iteration die Bedingungen dieses Satzes nicht (ganz) erfüllt, man formal erstmal nichts über ihre Konvergenz sagen kann (Es sei dann die Iteration hat Eigenschaften, die offensichtlich sind, also so auffällig sind wie oben, aber die obige Iterationsfunktion [mm]\varphi(x)[/mm] erfüllt sicherlich diese Bedingungen, aber nachprüfen will ich's jetzt nicht).
Du kannst dir ja mal ![[]](/images/popup.gif) diese Seite anschauen. (Was das Bild mit dem Satz zu tun hat?  Na ja, scheint als wär' die Frau auf dem Bild eine Iterierte. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") )
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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