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Heyda!
Ich bin nicht gerade der Stärkste in Stochastik, weswegen ihr mir bitte meine einfache Frage entschuldigt:
Wir haben uns in Mathe mit der Gauß-Funktion beschäftigt: [mm]f(x)= \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}e^{x}^{2} ; x \in \IR[/mm] Und sind über Gaußsche Summenfunktion bei Näherungsformel von De Moivre-Laplace gelandet: . [mm]P(k_{1}\le X\le k_{2}) \approx \Phi(x_{2}) - \Phi(x_{1})[/mm] Nun steht da noch, dass [mm]x_{1}= \bruch{k_{1}- np}{\wurzel{npq}}; x_{2}= \bruch{k_{2}- np}{\wurzel{npq}}[/mm] und, dass nur brauchbare Werte rauskommen, wenn npq>9. Die Sache wäre bis hierhin noch einigermaßen verständlich, wenn unser Lehrer nicht angemerkt hätte, dass es manchmal besser sei, für [mm]x_{1}= \bruch{k_{1}- 0,5 - np}{\wurzel{npq}}[/mm]und [mm]x_{2}= \bruch{k_{2}- 0,5 - np}{\wurzel{npq}}[/mm] zu verwenden. Was bringen diese [mm]\pm 0,5[/mm]? Wann machen die denn Sinn?
Gruß
Vitaminless
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mi 16.03.2005 | | Autor: | McBlack |
Servus!
So wie ich das sehe handelt es sich dabei um die Normalverteilung, mit der du näherungsweise die Wahrscheinlichkeiten von Bernoulliketten berechnen kannst,richtig?
Also ich hab diese Näherung so gelernt, dass dabei IMMER [mm] \Phi \left (\bruch{k-np+0,5}{\wurzel{npq}} \right) [/mm] angewendet wird.
Steht übrigens auch so in meiner Formelsammlung!
Vielleicht sprichst du deinen Lehrer einfach nochmal darauf an.
Ich hoffe, ich konnte dir ein bisschen helfen.
Gruß
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Hallo ihr beiden!
> So wie ich das sehe handelt es sich dabei um die
> Normalverteilung, mit der du näherungsweise die
> Wahrscheinlichkeiten von Bernoulliketten berechnen
> kannst,richtig?
>
> Also ich hab diese Näherung so gelernt, dass dabei IMMER
> [mm]\Phi \left (\bruch{k-np+0,5}{\wurzel{npq}} \right)[/mm]
> angewendet wird.
> Steht übrigens auch so in meiner Formelsammlung!
So pauschal würde ich hier nicht antworten. Die Stetigkeitskorrektur muss nicht immer besser sein. Es hat sich herausgestellt, dass sie vor allem für kleine n sinnvoll ist, weil da die Fläche unter der Normalverteilungsdichte eher der Fläche entspricht, die man mit den entsprechenden Balken der (diskreten) Binomialverteilung erhält.
Mir ist aber leider keine Regel bekannt, nach der man entscheiden könnte, wann man mit Stetigkeitskorrektur rechnen sollte, d.h. welche n als klein gelten. Da kann man ja mal googlen. Aber selbst wenn es welche gibt, sind dies wohl eher Faustregeln als mathematisch fundierte Regeln.
Viele Grüße
Brigitte
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Hi, Vitaminless,
> Wir haben uns in Mathe mit der Gauß-Funktion beschäftigt:
> [mm]f(x)= \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}}e^{x}^{2} ; x \in \IR[/mm]
Mir scheint, da fehlt der Faktor " [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] " im Exponenten.
> Und sind über Gaußsche Summenfunktion bei Näherungsformel von
> De Moivre-Laplace gelandet: . [mm]P(k_{1}\le X\le k_{2}) \approx \Phi(x_{2}) - \Phi(x_{1})[/mm]
> Nun steht da noch, dass [mm]x_{1}= \bruch{k_{1}- np}{\wurzel{npq}}; x_{2}= \bruch{k_{2}- np}{\wurzel{npq}}[/mm]
> und, dass nur brauchbare Werte rauskommen, wenn npq>9. Die
> Sache wäre bis hierhin noch einigermaßen verständlich, wenn
> unser Lehrer nicht angemerkt hätte, dass es manchmal besser
> sei, für [mm]x_{1}= \bruch{k_{1}- 0,5 - np}{\wurzel{npq}}[/mm]und
> [mm]x_{2}= \bruch{k_{2}- 0,5 - np}{\wurzel{npq}}[/mm] zu verwenden.
Hier muss es aber [mm] x_{2}= \bruch{k_{2} + 0,5 - np}{\wurzel{npq}}
[/mm]
heißen!
> Was bringen diese [mm]\pm 0,5[/mm]? Wann machen die denn Sinn?
Diese sog. "Stetigkeitskorrektur" erhöht die Genauigkeit der Näherung.
Warum?
Nun: Wir gehen ja von der HISTOGRAMMDARSTELLUNG der Binomialverteilung aus. Dort wiederum wird die Wahrscheinlichkeit z.B. [mm] P(X=k_{2}) [/mm] durch eine Rechtecksfläche der Breite 1 und der entsprechenden Höhe dargestellt, wobei - und das ist nun wichtig! - das [mm] k_{2} [/mm] die MITTE der Grundseite des Rechtecks ist.
Wenn Du nun also die Histogrammflächen zwischen [mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] durch die Normalverteilung annähern möchtest, und dabei von [mm] k_{1} [/mm] bis [mm] k_{2} [/mm] die Glockenkurve integrierst, verlierst Du - anschaulich gesprochen - jeweils die Hälfte der beiden Rechtecksflächen am Rand! Das mag bei den meisten Aufgaben unerheblich sein, weil's oft nicht allzu viel ist; aber genauer wirds auf jeden Fall, wenn man die beiden fehlenden halben Rechtecke (nach oben mit +0,5, nach unten analog mit -0,5) dazunimmt.
Klar?
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