Näherung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 07.11.2008 | | Autor: | ohlala |
| Aufgabe | Es sei u eine kleine Grösse. Finde Näherungen für die folgenden Ausdrücke:
[mm] a)\wurzel[3]{1000-u}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{(1+u)^2} [/mm] -1
[mm] c)e^{1+u}
[/mm]
d) [mm] \produkt_{k=0}^{n-1} (1-\bruch{ku}{365})
[/mm]
Hinweis: Man approximiere [mm] f(x_{0}+u) [/mm] durch den Wert an der Stelle [mm] x_{0}+u [/mm] der linearen Ersatzfunktion von f in [mm] x_{0}, [/mm] d.h. [mm] f'(x_{0})u [/mm] + [mm] f(x_{0}) [/mm] |
Könnt mir bitte jemand den Hinweis erklären, denn bis jetzt hab ich die Aufgaben nur "normal" approximiert mit folgenden Ergebnissen:
a)f(u)= 10- [mm] \bruch{1}{300} [/mm] u- [mm] \bruch{2}{18*10^5} u^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{42*10^7} u^3
[/mm]
b) f(u)= -2u + [mm] 3u^2 [/mm] - [mm] 4u^3 [/mm] + [mm] 5u^4 [/mm] - [mm] 6u^5
[/mm]
c)f(u)= [mm] u+u^2+0.5 u^3+\bruch{4}{24} u^4
[/mm]
d) hab ich nicht rechnen können
Also wäre ganz super nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte
lg und schonmal Danke
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Hallo!
Damit ist ganz simpel gemeint, daß du die Funktion linear annähern sollst. Sprich: Du hast im Ergebnis ne Konstante und einen Term, der linear von u abhängt.
Du hast also schon zu viel gemacht, und kannst alle Terme mit [mm] u^2, u^3, [/mm] ... streichen.
Zur letzten Aufgabe:. Eigentlich mußt du das Produkt nur ausrechnen, und dann hast du ein Polynom (n-1)ten Grades, welches gleich der Näherung ist.
Du benötigst aber nur den konstanten und linearen Term. Jetzt ist die Frage: Du hast sowas wie
[mm] $(1+a*u)(1+a*u)(1+a*u)(1+a*u)(1+a*u)...=(1+a*u)^n= b_0+b_1u+b_2u^2+...$
[/mm]
Gefragt ist aber nur nach dem Teil [mm] b_0+b_1u [/mm] . Sicher gilt [mm] b_0=1, [/mm] weil dafür die Einsen aller Faktoren multipliziert werden.
Die linear von u abhängigen Terme entstehen immer dann, wenn das $a*u_$ eines Terms mit den Einsen aller anderen Terme multipliziert wird, sprich, das gibt es n mal: [mm] b_1=n*au [/mm] .
Damit sollte deine letzte Aufgabe auch kein Problem sein.
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