Nachweis für ein Maximum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Fr 27.06.2008 | | Autor: | sqoody |
| Aufgabe | Ein rechteckiges Blatt Papier mit den Ecken A, B, C, D und den Seitenlängen a und b wird so gefaltet, dass danach die Ecke D auf der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] liegt.
Wo muss der Punkt F (Faltpunkt) liegen, dass das Dreieck FAD maximalen Flächeninhalt besitzt? Wie groß ist dieser?
Der Nachweis für ein Maximum wird verlangt.
Hinweis: Verwenden Sie [mm] x=\overline{AF} [/mm] als Variable. |
Diese Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen und ich weis leider nicht wie ich da ran gehen kann, soll oder was ich überhaupt machen kann um einen Anfang zu finden, geschweige denn, diese zu lösen?
Würde mich sehr freuen wenn jemand Lust hätte mir zu helfen bzw. das mal durchzurechnen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Fr 27.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Nach dem Falten liegt D auf der Strecke AB.
Sei y die Länge der Strecke AD (nach dem Falten)
Die Fläche des Dreiecks ist F(x) = (xy)/2.
Es ist x+y = b, also y = b-x,
somit
F(x) = 0,5x(b-x).
Nun betrachte die Parabel mit der Gleichung y = 0,5x(b-x).
Wo nimmt diese Parabel ihren größten Wert an ?
FRED
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:19 Fr 27.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo fred et al
Ich den du hast dich mit AD=b-AF vertan,
Gruss leduart
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Habe ich die Aufgabe richtig verstanden?
Ich nenne die Ecke D vor dem Falten einfach D,
nach dem Falten [mm] \overline{D}.
[/mm]
Der "Faltpunkt" F liegt auf [mm] \overline{AD},\quad \overline{D} [/mm] liegt auf [mm] \overline{AB} [/mm] .
Das Dreieck [mm] FA\overline{D} [/mm] soll maximalen Flächeninhalt haben.
Sei [mm] x=\overline{AF},\quad y=\overline{A\overline{D}},\quad z=\overline{F\overline{D}}
[/mm]
Dann wäre x+z=b und natürlich [mm] x^2+y^2=z^2.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Fr 27.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Ja du hast es genau richtig verstanden 
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> Ja du hast es genau richtig verstanden
o.k., und haben dir die Bezeichnungen auch
schon weiter geholfen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Fr 27.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Irgendwie nicht wirklich. Denn wie komme ich darauf wo der Punkt F liegt und wie bekomme ich den Nachweis für ein Maximum heraus?
Blicke da gerade nicht durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 27.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hast Du meinen Beitrag nicht gelesen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Fr 27.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Doch ich habe deine Antwort gelesen, leider werde ich daraus auch nicht schlau....und ich glaube das ich die Aufgabe nicht verstehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 27.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Falt doch mal ein Papier! das gesuchte Dreieck ist rechtwinklig, eine Kathete ist x, was kennst du noch?
2. Dass etwas ein Max ist kann man auf 2 Weisen zeigen:
a)2. Ableitung der fkt ist negativ an der Stelle.
b) an benachbarten Stellen ist die Funktion kleiner.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 01.07.2008 | | Autor: | sqoody |
Hallo,
nun habe ich leider trotz mehrmaliges durchlesen aller Beiträge und eigenen Überlegungen keine Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen.
Ich stelle mich wahrscheinlich einfach nur blöd an, komme aber auf nichts und blicke einfach nicht durch.
Hoffe mir kann nochmal jemand das Verständlich machen, in meinen Kopf wills einfach nicht klick machen....
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hi sqoody,
ich knüpfe an meine frühere Mitteilung an:
> Ich nenne die Ecke D vor dem Falten einfach D,
> nach dem Falten [mm] \overline{D}. [/mm]
> Der "Faltpunkt" F liegt auf [mm] \overline{AD},\quad \overline{D} [/mm] liegt auf [mm] \overline{AB} [/mm] .
> Das Dreieck [mm] FA\overline{D} [/mm] soll maximalen Flächeninhalt haben.
> Sei [mm] x=\overline{AF},\quad y=\overline{A\overline{D}},\quad z=\overline{F\overline{D}} [/mm]
> Dann wäre x+z=b und natürlich [mm] x^2+y^2=z^2. [/mm]
Die Zielgrösse, die maximiert werden soll, ist die Dreiecksfläche:
[mm] F(x,y)=\bruch{1}{2}*x*y
[/mm]
um von den beiden Variablen x und y eine loszuwerden, kann
man zunächst z=(b-x) in die Pythagorasgleichung einsetzen:
[mm] x^2+y^2=z^2=(b-x)^2=b^2-2*b*x+x^2
[/mm]
Aus dieser Gleichung fällt das [mm] x^2 [/mm] heraus, und man kann
sie nach x auflösen. Dann kann man die Fläche als
Funktion von y allein schreiben:
F(y)= .......
und ist bei einer leicht zu lösenden Extremwertaufgabe mit
einer einzigen Variablen angelangt.
LG al-Chw.
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