Nachweis einer Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Muemo |
| Aufgabe | | Gegeben sind die Vektoren [mm] a=5e_{1}-3e_{2}-2e_{3}, b=2e_{1}+2e_{2}-3e_{3}, c=e_{1}+4e_{2}+2e_{3}. [/mm] Man zeige, daß diese Vektoren eine Basis bilden. |
Hallo,
ich soll die Basis von den 3 Vektoren nachweisen und weiß leider nicht wie. Ich glaube es scheitert daran, dass ich eine Basis nicht genau definieren kann. Ich hab versucht zu zeigen, dass die Vektoren linear abhängig sind? Für den Fall, dass sie es sind bilden sie eine Basis oder lieg ich damit komplett falsch? Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand beim Ansatz helfen könnte.
Vielen Dank im Vorraus.
MfG Flo
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> Gegeben sind die Vektoren [mm]a=5e_{1}-3e_{2}-2e_{3}, b=2e_{1}+2e_{2}-3e_{3}, c=e_{1}+4e_{2}+2e_{3}.[/mm]
> Man zeige, daß diese Vektoren eine Basis bilden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich vermute, daß Du einige Informationen verschwiegen hast, könnte das sein?
Ich stelle mir die Sache so vor, daß es um den [mm] \IR^3 [/mm] geht, und daß [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Nun sind drei Vektoren a, b, c wie oben definiert, und Du sollst zeigen, daß sie auch eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden.
Hab' ich richtig geraten? Ich gehe davon aus, daß es so ist.
Der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3, dh. jede seiner Basen hat drei Elemente.
Insofern könnte (!) es sein, daß (a,b,c) eine Basis ist, und Du liegst völlig richtig damit, daß man nun die lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren nachweisen muß.
Was ist dazu zu tun? Du mußt prüfen, ob aus [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b + [mm] \nu [/mm] c=0 folgt, daß [mm] \lambda=\mu=\nu [/mm] =0 gilt.
Auf geht's:
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b + [mm] \nu [/mm] c=0
==> nun die Ausdrücke von oben einsetzen, anschließend nach [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] sortieren, also so: [mm] (...)e_1 [/mm] + [mm] (...)e_2 [/mm] + [mm] (...)e_3=0.
[/mm]
Wenn Du so weit bist, gilt es zu bedenken, daß [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] eine Basis ist, also linear unabhängig. Hieraus kannst Du Schlüsse ziehen.
leg mal los, wenn Du soweit bist, hilft Dir gewiß jemand weiter.
Gruß v. Angela
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