Nachweis der Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 So 31.08.2008 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=4x^{2}-2x [/mm] |
Hi Leute,
ich habe folgende Frage:
Wenn ich die erste Ableitung der obigen Funktion bilde wäre das ja: f'(x)=8x-2
Um darauf zu kommen kann man doch auch iwie Grenzwertbestimmung verwenden oder?
Also ich habe dazu mal folgendes gemacht:
Differenzenquotient: [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}=\bruch{\Delta y}{\Delta x}=\bruch{(4x^{2}-4x)-(4x_{0}^{2}-4x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
Jetzt muss man das doch iwie umformen, dass man den Nenner kürzen kann. Ich weis aber nicht wirklich wie.
Könntet Ihr mir da ein bisschen helfen.
Viele Grüsse und ein dickes Dankeschön
Lilli
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Hallo!
Deine Ableitung stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Es ist
[mm]f(x) = 4x^{2}-2x[/mm]
und somit
[mm]f'(x_{0}) = \limes_{x\rightarrow x_{0}}\left(\bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\right)[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow x_{0}}\left(\bruch{(4x^{2}-2x) - (4x_{0}^{2}-2x_{0})}{x - x_{0}}\right)[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow x_{0}}\left(\bruch{4x^{2}-2x - 4x_{0}^{2}+2x_{0}}{x - x_{0}}\right)[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow x_{0}}\left(\bruch{4x^{2}- 4x_{0}^{2}+2x_{0} - 2x}{x - x_{0}}\right)[/mm]
Der Trick ist nun, im Zähler auszuklammern! Du musst aus den ersten beiden Summanden irgendwie [mm] (x-x_{0}) [/mm] ausklammern (Tipp: 3. Binomische Formel) und aus den zweiten beiden Summanden lässt sich sicher auch [mm] (x-x_{0}) [/mm] ausklammern. Dann kannst du [mm] (x-x_{0}) [/mm] aus dem gesamten Zähler ausklammern und mit dem Nenner kürzen - Die Grenzwertbildung ist dann einfach 
Stefan.
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