Nachweis: Produktgruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jojako |
| Aufgabe | | Es sei I eine endliche Indexmenge und für jedes i [mm] \in [/mm] I sei [mm] (G_{i},*_{i}) [/mm] eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die Produktgruppe [mm] (x_{i /in I}G_{i},*), [/mm] wobei die Verknüpfung * auf [mm] x_{i /in I}G_{i} [/mm] definiert ist durch [mm] (a*b)_{i} [/mm] = [mm] a_{i}*_{i}b_{i} [/mm] (i /in I), tatsächlich eine Gruppe ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, tut mir leid es scheint ein Problem mit der Formatierung der Aufgabenstellung zu geben, ich hoffe die i /in I verwirren niemanden zu sehr.
Meine Fragen zu der Aufgabe sind leider ziemlich allgemein, ich hoffe mir kann jemand helfen.
1. Was ist eine Produktgruppe? Ich habe den Begriff mehrfach im Internet gesucht aber nichts in Verbindung mit Mathematik gefunden.
2. verwirrt mich das "Multiplikationszeichen mit i im Index" sehr, ich habe soetwas noch nie gesehen, kann mir jemand erklären was es damit auf sich hat?
Ich hoffe ich kann konkretere Fragen zur Aufgabenstellung formulieren wenn ich zumindest die Begriffe mal verstanden habe.
Gruß jojako
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Fr 01.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Es sei I eine endliche Indexmenge und für jedes i [mm]\in[/mm] I
> sei [mm](G_{i},*_{i})[/mm] eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die
> Produktgruppe [mm](x_{i /in I}G_{i},*),[/mm] wobei die Verknüpfung
> * auf [mm]x_{i /in I}G_{i}[/mm] definiert ist durch [mm](a*b)_{i}[/mm] =
> [mm]a_{i}*_{i}b_{i}[/mm] (i /in I), tatsächlich eine Gruppe ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen, tut mir leid es scheint ein Problem mit der
> Formatierung der Aufgabenstellung zu geben, ich hoffe die i
> /in I verwirren niemanden zu sehr.
>
> Meine Fragen zu der Aufgabe sind leider ziemlich allgemein,
> ich hoffe mir kann jemand helfen.
>
> 1. Was ist eine Produktgruppe? Ich habe den Begriff
> mehrfach im Internet gesucht aber nichts in Verbindung mit
> Mathematik gefunden.
Wie waer's einmal mit einem Buch? Stehen oft ziemlich kluge Sachen drin. Gibt's in der Bibliothek.
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> 2. verwirrt mich das "Multiplikationszeichen mit i im
> Index" sehr, ich habe soetwas noch nie gesehen, kann mir
> jemand erklären was es damit auf sich hat?
Es werden hier mehrere Gruppen betrachten: zu jedem Index $i$ eine andere. Um die verschiedenen Verknuepfungen unterscheiden zu koennen, wurde jedes mit dem entsprechenden Index versehen. Das ist einfacher als sich immer andere Verknuepfungssymbole auszudenken.
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> Ich hoffe ich kann konkretere Fragen zur Aufgabenstellung
> formulieren wenn ich zumindest die Begriffe mal verstanden
> habe.
>
> Gruß jojako
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 01.11.2013 | | Autor: | jojako |
| Aufgabe | | [mm] (x_{i /in I}G_{i},*) [/mm] |
Danke schonmal für deine schnelle Antwort. Mir kam gerade der Gedanke, das obiges x in der Gruppenbeschreibung keine Variable ist sondern das Zeichen für das karthesische Produkt. Liege ich damit richtig? Denn dann würde auch der Begriff Produktgruppe Sinn machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Fr 01.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo jojako und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> [mm](x_{i /in I}G_{i},*)[/mm]
>
> Danke schonmal für deine schnelle Antwort. Mir kam gerade
> der Gedanke, das obiges x in der Gruppenbeschreibung keine
> Variable ist sondern das Zeichen für das karthesische
> Produkt. Liege ich damit richtig?
Ja.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Fr 01.11.2013 | | Autor: | Immathe |
Hatt jemand ein Lösungsvorschlag für die oben genannte Aufgabe ?
Wäre sehr dankbar
liebe grüße
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> Hatt jemand ein Lösungsvorschlag für die oben genannte
> Aufgabe ?
> Wäre sehr dankbar
> liebe grüße
Hallo,
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Ich gehe davon aus, daß Du Dich schon mit der Aufgabe beschäftigt hast.
Wenn Du Dir mal die Forenregeln durchliest, wirst Du feststellen, daß wir von Dir Lösungsansätze erwarten. Wir möchten wissen, was Du bisher überlegt und getan hast, und an welcher Stelle Du scheiterst.
Beachte dies bitte in Zukunft.
Du hast eine endliche Anzahl von Gruppen [mm] (G_i,\circ_i), [/mm] und
Du sollst zeigen, daß die Menge [mm] X_{i\in I}G_i [/mm] zusammen mit der in der Aufgabenstellung erlärten Vernüpfung [mm] \circ [/mm] ebenfalls eine Gruppe bildet.
Dazu sind sämtliche Gruppenaxiome nachzuweisen.
Nun kann ich mit vorstellen, daß Du Probleme damit hast, Dir die Menge und Verknüpfung vorzustellen.
Nehmen wir mal als Beispiel [mm] I:=\{1,2,3\}.
[/mm]
Wir haben als Zutaten für die Aufgabe dann drei Gruppen [mm] (G_1,\circ_1), (G_2,\circ_2), (G_3,\circ_3).
[/mm]
Für diese gelten jeweils die Gruppenaxiome.
Aus den drei Mengen [mm] G_1, G_2, G_3 [/mm] wird nun eine neue Menge gebildet, die Menge
[mm] X_{i\in\{1,2,3\}}G_i=G_1\times G_2\times G_3.
[/mm]
Die Elemente dieser Menge sind Tripel, bei denen an erster Stelle ein Element aus [mm] G_1,an [/mm] zweiter Stelle eins aus [mm] G_2 [/mm] und an dritter aus [mm] G_3 [/mm] steht.
Also [mm] X_{i\in\{1,2,3\}}G_i=\{(g_1,g_2,g_3)| g_1\in G_1, g_2\in G_2, g_3\in G_3\}.
[/mm]
Nun haben wir auch eine Verknüpfung, die Verknüpfung [mm] \circ.
[/mm]
Sie funktioniert so:
für [mm] (g_1,g_2,g_3),(g_1',g_2',g_3')\in G_1\times G_2\times G_3
[/mm]
ist
[mm] (g_1,g_2,g_3)\circ (g_1',g_2',g_3')=(g_1\circ_1 g_1',g_2\circ_2 g_2',g_3\circ_3 g_3').
[/mm]
Alles in der 1. Komponente spielt sich also in [mm] (G_1,\circ_1) [/mm] ab, und für die beiden anderen entsprechend.
So, ich denke, jetzt kannst Du mal beginnen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 02.11.2013 | | Autor: | jojako |
Okay, das heißt also wir haben allgemein eine Produktgruppe [mm] X_{i\in I}G_i=\{(g_1,g_2,...g_i)| g_1\in G_1, g_2\in G_2,... g_i\in G_i\}. [/mm] $
und die Verknüpfung lautet allgemein [mm] (g_1,g_2,...g_i)\circ (g_1',g_2',...g_i')=(g_1\circ_1 g_1',g_2\circ_2 g_2',...g_i\circ_i g_i'). [/mm]
Eigentlich ist man mit diesem Wissen schon fertig, oder?
Da sich die 1. Komponente der Verknüpfung in [mm] G_1 [/mm] abspielt, die 2. in [mm] G_2 [/mm] ... und die i-te in [mm] G_i, [/mm] gilt für jede Komponente, dass die Gruppenvorraussetzungen erfüllt sind, da ja in der Bedingung steht das [mm] G_i [/mm] für jedes i [mm] \in [/mm] I eine Gruppe ist.
Und wenn die Gruppenvorraussetzungen für jede Komponente der Verknüpfung gelten, dann ist auch ganz [mm] X_{i\in I}G_i [/mm] eine Gruppe.
Oder muss man das noch genauer nachweisen?
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> Okay, das heißt also wir haben allgemein eine
> Produktgruppe [mm]X_{i\in I}G_i=\{(g_1,g_2,...g_i)| g_1\in G_1, g_2\in G_2,... g_i\in G_i\}.[/mm]
> $
>
>
> und die Verknüpfung lautet allgemein
> [mm](g_1,g_2,...g_i)\circ (g_1',g_2',...g_i')=(g_1\circ_1 g_1',g_2\circ_2 g_2',...g_i\circ_i g_i').[/mm]
>
> Eigentlich ist man mit diesem Wissen schon fertig, oder?
> Da sich die 1. Komponente der Verknüpfung in [mm]G_1[/mm]
> abspielt, die 2. in [mm]G_2[/mm] ... und die i-te in [mm]G_i,[/mm] gilt für
> jede Komponente, dass die Gruppenvorraussetzungen erfüllt
> sind, da ja in der Bedingung steht das [mm]G_i[/mm] für jedes i [mm]\in[/mm]
> I eine Gruppe ist.
> Und wenn die Gruppenvorraussetzungen für jede Komponente
> der Verknüpfung gelten, dann ist auch ganz [mm]X_{i\in I}G_i[/mm]
> eine Gruppe.
>
> Oder muss man das noch genauer nachweisen?
Hallo,
da es sich vermutlich um eine Aufgabe vom Studienbeginn handelt, mußt Du es genauer zeigen.
Die Chefs wollen ja auch sehen, daß es Dir nicht an Problembewußtsein mangelt.
Es ist unbedingt erwähnenswert, daß die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] in die Menge [mm] X_{i\in I}G_i [/mm] abbildet und nicht sonstwohin.
Daß das Assoziativgesetz gilt, würde ich vorrechnen und jeden Schritt (!) begründen.
Beim neutralen Element erwartet man von Dir, daß Du es angibst und vorrechnest, warum es das neutrale Element ist.
Ebenso mußt Du zu jedem Element sein Inverses sagen und vorrechnen, daß es wirklich inverses Element ist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Immathe |
an Angela h.b.,
vielen dank für die rasche und einleuchtende Antwort.
Habe mich natürlich lange mit dieser Aufgabe beschäftigt und manche Ansätze stimmten mit deinen Überein. Das nächste mal werde ich dies Lösungsansätze mit in das Forum geben, dies tut mir sehr leid.
Die Vorstellung dieser Menge und Verknüpfung war genau mein Problem.
Vielen Dank nochmals und ein schönen Abend wünsche ich
Liebe Grüße
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