Nachweis Im(z) > 0 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Im Zuge dessen, zu zeigen dass [mm] $f:\{z\in\IC:Im(z) > 0\}\to\{w\in\IC:|w|<1\}:z\mapsto \bruch{z-i}{z+i}$ [/mm] surjektiv ist habe ich die Umkehrfunktion
[mm] $f^{-1}(w) [/mm] = [mm] i*\frac{w+1}{1-w} [/mm] = z$
gebildet. Nun wollte ich gern noch zeigen, dass [mm] f^{-1}(w) [/mm] auch wirklich für jedes w eine komplexe Zahl z erzeugt, die einen Imaginärteil größer 0 hat (also in den Definitionsbereich von f abgebildet wird). Ich müsste also zeigen
[mm] \mbox{Im}\left(i*\frac{w+1}{1-w}\right) [/mm] > 0
wenn |w| < 1. Mir fällt kein Ansatz ein. Könnt ihr mir bitte helfen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo!
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> Im Zuge dessen, zu zeigen dass [mm]f:\{z\in\IC:Im(z) > 0\}\to\{w\in\IC:|w|<1\}:z\mapsto \bruch{z-i}{z+i}[/mm]
> surjektiv ist habe ich die Umkehrfunktion
>
> [mm]f^{-1}(w) = i*\frac{w+1}{1-w} = z[/mm]
>
> gebildet.
ich hoffe, dass diese 'Formel für die Funktionsgleichung' richtig ist, ich habe sie nämlich nicht kontrolliert.
> Nun wollte ich gern noch zeigen, dass [mm]f^{-1}(w)[/mm]
> auch wirklich für jedes w eine komplexe Zahl z erzeugt, die
> einen Imaginärteil größer 0 hat (also in den
> Definitionsbereich von f abgebildet wird). Ich müsste also
> zeigen
>
> [mm]\mbox{Im}\left(i*\frac{w+1}{1-w}\right)[/mm] > 0
>
> wenn |w| < 1. Mir fällt kein Ansatz ein. Könnt ihr mir
> bitte helfen?
Der Standardansatz lautet hier typischerweise 'Nachrechnen!'. Entweder zerlegst Du [mm] $w=w_1+i*w_2$ [/mm] mit [mm] $w_1:=\text{Re}\,w$ [/mm] und [mm] $w_2:=\text{Im}\;w$ [/mm] und berechnest damit (durch umsortieren) erstmal [mm] $\text{Im}\left(i\cdot{}\frac{w+1}{1-w}\right)\,,$ [/mm] oder Du benutzt Formeln wie
[mm] $$\text{Im}\;z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$$
[/mm]
und
[mm] $$|z|=\sqrt{z*\overline{z}} \;\;\;\big(\;\gdw\;|z|^2=z*\overline{z}\big)\;\;\text{ für beliebiges }z \in \IC\,.$$
[/mm]
(Beachte auch: [mm] $1/i=-i\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
zunächst vielen Dank für deine Antwort! Das mit dem $Im(z) = [mm] \bruch{z-\overline(z)}{2*i}$ [/mm] hat mich weitergebracht. Ich komme jetzt auf:
$Im(z)$
mit $z = [mm] i*\bruch{w+1}{1-w}$ [/mm] und [mm] $\overline{z} [/mm] = [mm] (-i)*\bruch{\overline{w}+1}{1-\overline{w}}$, [/mm] also
$Im(z) = [mm] \bruch{1}{2*i}*\left(i*\bruch{w+1}{1-w} - (-i)*\bruch{\overline{w}+1}{1-\overline{w}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{w+1}{1-w} + \bruch{\overline{w}+1}{1-\overline{w}}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{(w+1)*(1-\overline{w}) + (\overline{w}+1)*(1-w)}{(1-w)*(1-\overline{w})}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{2-2*|w|}{(1-w)*(1-\overline{w})}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1-|w|}{(1-w)*\overline{(1-w)}}=\bruch{1-|w|}{|1-w|^{2}}$
[/mm]
und der Nenner ist positiv, der Zähler wegen |w| < 1. Damit wäre der Beweis erbracht. Der Nenner könnte ja für w = 1 Null werden. Das kann aber nicht sein, weil |w| < 1 ist.
Viele Grüße, Stefan.
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