Nachweis Funktion ist konstant < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für eine Funktion f: (a,b) [mm] \to \IR [/mm] gebe es Zahlen K > 0 und [mm] \alpha [/mm] > 1, so dass |f(x) - f (y)| [mm] \le [/mm] K |x - [mm] y|\alpha [/mm] (dieses [mm] \alpha [/mm] soll hochgestellt sein)
für alle x,y [mm] \in [/mm] (a,b). Zeigen Sie, dass f konstant auf (a,b) ist. |
Hallo,
komme nicht mit dieser aufgabe zurecht. bedeutet hier konstant stetig??
was muss ich überhaupt prüfen?
Wäre echt dankbar wenn mir jemand helfen könnte.
liebe grüße
mathenully
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Di 07.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für eine Funktion f: (a,b) [mm]\to \IR[/mm] gebe es Zahlen K > 0 und
> [mm]\alpha[/mm] > 1, so dass |f(x) - f (y)| [mm]\le[/mm] K |x - [mm]y|\alpha[/mm]
> (dieses [mm]\alpha[/mm] soll hochgestellt sein)
> für alle x,y [mm]\in[/mm] (a,b). Zeigen Sie, dass f konstant auf
> (a,b) ist.
> Hallo,
>
> komme nicht mit dieser aufgabe zurecht. bedeutet hier
> konstant stetig??
Nein. Es bedeutet: Es ex. ein c mit: f(x) = c für jedes x [mm] \in [/mm] (a,b)
>
> was muss ich überhaupt prüfen?
Das: Es ex. ein c mit: f(x) = c für jedes x [mm] \in [/mm] (a,b)
>
> Wäre echt dankbar wenn mir jemand helfen könnte.
Du hast:
$|f(x) - f (y)| [mm] \le [/mm] K |x - [mm] y|^{\alpha} [/mm] $ für x,y in (a,b)
Setze [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] -1$. Dann ist [mm] \beta [/mm] > 0 und
[mm] $|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}| \le K|x-y|^{\beta}$ [/mm] für x,y in (a,b) und x [mm] \not=y
[/mm]
Es folgt:
[mm] \limes_{y\rightarrow\ x}\bruch{f(x)-f(y)}{x-y} [/mm] = 0.
Fazit: f ist auf (a,b) differenzierbar und $f'(x) = 0$ für jedes x [mm] \in [/mm] (a,b).
Damit ist f konstant.
FRED
>
> liebe grüße
> mathenully
|
|
|
|
