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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Nachvollziehen von Formel
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Nachvollziehen von Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Fr 25.06.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Die Lösung der linearen Differentialgleichung erster Ordnung

$x'(t) = cx(t) + g(t)$

ist

$x(t) = [mm] x(t_0)e^c(t [/mm] - [mm] t_0) [/mm] + [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}$. [/mm]

Hallo,
unter diesem Satz steht, man könne durch Differenzieren die Probe machen.
Allerdings komme ich durch Differenzieren auf

$c [mm] x(t_0) ce^{c(t - t_0)} [/mm] + g(t)$

Wie genau passt das zusammen?

Danke und Gruß,
Martin

        
Bezug
Nachvollziehen von Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Fr 25.06.2021
Autor: fred97


> Die Lösung der linearen Differentialgleichung erster
> Ordnung
>  
> [mm]x'(t) = cx(t) + g(t)[/mm]
>  
> ist
>  
> [mm]x(t) = x(t_0)e^c(t - t_0) + \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm].
>  
> Hallo,
>  unter diesem Satz steht, man könne durch Differenzieren
> die Probe machen.
>  Allerdings komme ich durch Differenzieren auf
>  
> [mm]c x(t_0) ce^{c(t - t_0)} + g(t)[/mm]
>  
> Wie genau passt das zusammen?

Da du keine Rechenschritte gezeigt hast, kann ich nicht nachvollziehen, was genau bei dir schiefgegangen ist. Wenn ich differenziere erhalte ich etwas anderes als Du.

>  
> Danke und Gruß,
>  Martin


Bezug
                
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Nachvollziehen von Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Sa 26.06.2021
Autor: sancho1980


> Da du keine Rechenschritte gezeigt hast, kann ich nicht
> nachvollziehen, was genau bei dir schiefgegangen ist. Wenn
> ich differenziere erhalte ich etwas anderes als Du.

Ja sorry, ich dachte es wäre bereits klar, wie ich es versucht habe, aber sicher ist es schwer, meine Denkfehler nachzuvollziehen.
Also ich habe versucht, $x(t) = a(t) + b(t)$ mit $a(t) = [mm] x(t_0)e^c(t [/mm] - [mm] t_0)$ [/mm] und $b(t) =  [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}$ [/mm] summandenweise zu differenzieren, also $x'(t) = a'(t) + b'(t)$.
Ich hoffe, es ist nachvollziehbar, wenn ich folgere, dass $a'(t) = c [mm] x(t_0) e^{c(t - t_0)}$ [/mm] (mir fällt gerade auf, dass ich in meinem Eingangspost hier ein $c$ zuviel stehen hatte).
Beim Differenzieren von $b$ bin ich mir allerdings unsicher, aber schaue ich mir den 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nochmal an:

"Sei $a < b$ , und sei $f: [a,b] [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] integrierbar. Sei $F: [a,b] [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] definiert durch $F(x) = [mm] \integral_{a}^{x} [/mm] f(t) dt$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$. Ist $f$ in $c [mm] \in [/mm] [a,b]$ stetig, so ist $F$ in $c$ differenzierbar, und es gilt $F'(c) = f(c)$,"

Jetzt habe ich einfach gesetzt $F := b$ und $f(s) := [mm] e^{c(t - s)} [/mm] g(s)$ und gefolgert, dass $b'(t) = F'(t) = [mm] e^{c(t - t)} [/mm] g(t) = [mm] e^{c(t - t)} [/mm] g(t) = g(t)$, aber ich nehme an, hier liegt der Fehler?!

Danke und Gruß,

Martin

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Nachvollziehen von Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Sa 26.06.2021
Autor: fred97


> > Da du keine Rechenschritte gezeigt hast, kann ich nicht
> > nachvollziehen, was genau bei dir schiefgegangen ist. Wenn
> > ich differenziere erhalte ich etwas anderes als Du.
>  
> Ja sorry, ich dachte es wäre bereits klar, wie ich es
> versucht habe, aber sicher ist es schwer, meine Denkfehler
> nachzuvollziehen.
>  Also ich habe versucht, [mm]x(t) = a(t) + b(t)[/mm] mit [mm]a(t) = x(t_0)e^c(t - t_0)[/mm]
> und [mm]b(t) = \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]
> summandenweise zu differenzieren, also [mm]x'(t) = a'(t) + b'(t)[/mm].
>  
> Ich hoffe, es ist nachvollziehbar, wenn ich folgere, dass
> [mm]a'(t) = c x(t_0) e^{c(t - t_0)}[/mm] (mir fällt gerade auf,
> dass ich in meinem Eingangspost hier ein [mm]c[/mm] zuviel stehen
> hatte).
>  Beim Differenzieren von [mm]b[/mm] bin ich mir allerdings unsicher,
> aber schaue ich mir den 1. Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung nochmal an:
>  
> "Sei [mm]a < b[/mm] , und sei [mm]f: [a,b] \to \mathbb{R}[/mm] integrierbar.
> Sei [mm]F: [a,b] \to \mathbb{R}[/mm] definiert durch [mm]F(x) = \integral_{a}^{x} f(t) dt[/mm]
> für alle [mm]x \in [a,b][/mm]. Ist [mm]f[/mm] in [mm]c \in [a,b][/mm] stetig, so ist
> [mm]F[/mm] in [mm]c[/mm] differenzierbar, und es gilt [mm]F'(c) = f(c)[/mm],"
>  
> Jetzt habe ich einfach gesetzt [mm]F := b[/mm] und [mm]f(s) := e^{c(t - s)} g(s)[/mm]
> und gefolgert, dass [mm]b'(t) = F'(t) = e^{c(t - t)} g(t) = e^{c(t - t)} g(t) = g(t)[/mm],
> aber ich nehme an, hier liegt der Fehler?!

Ja, da liegt der Fehler. Die Funktion b hängt von der Variablen t ab. Diese Variable kommt als obere Integrationsgrenze und unter dem Integral vor. Jetzt versuchs nochmal .

>  
> Danke und Gruß,
>  
> Martin


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Nachvollziehen von Formel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:30 Sa 26.06.2021
Autor: sancho1980

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Ja, da liegt der Fehler. Die Funktion b hängt von der
> Variablen t ab. Diese Variable kommt als obere
> Integrationsgrenze und unter dem Integral vor. Jetzt
> versuchs nochmal .

Stimmt, dann muss ich wohl $b := d \circ h$ mit $d(t,r) := \integral_{t_0}^{t}{e^{c(r - s)} g(s) ds$ und $h(t) = (t,t)$ betrachten. Also ist doch $\nabla d = \pmat{ e^{c(t - s)} g(s) & \integral_{t_0}^{t}{c e^{c(t - s)} g(s) ds }$ (oder?) und $h'(t) = \vektor{1 \\ 1}$, also $b'(t) = e^{c(t - s)} g(s) + \integral_{t_0}^{t}{c e^{c(t - s)} g(s) ds$? Sehe mich leider immer noch nicht am Ziel, irgendwas stimmt sicher nicht.

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Nachvollziehen von Formel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Di 29.06.2021
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Nachvollziehen von Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Sa 26.06.2021
Autor: HJKweseleit

[mm]b(t) = \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]

hat, wie Fred schon feststellte, das t sowohl im Integranden als auch in der Obergrenze. Hier lassen sich weder Summen-, Produkt- noch Kettenregel anwenden, sondern (nur?) die Regel vom totalen Differenzial.

Betrachte die Obergrenze als eigenständige Variable u=u(t), hier u(t)=t. Drücke das Integral als Funktion zweier unabhängiger Variablen t und u aus als

[mm]G(t,u) = \integral_{t_0}^{u}{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]

Dann ist [mm] dG(t,u)=\bruch{\partial G}{\partial t}dt [/mm] + [mm] \bruch{\partial G}{\partial u}du [/mm] =  [mm] \integral_{t_0}^{u}{c*e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] dt +  [mm] e^{c(t - s)} g(s)|_{s=u} [/mm] du =  [mm] c*\integral_{t_0}^{u}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] dt +  [mm] e^{c(t - u)} [/mm] g(u) du .

Damit wird [mm] \bruch{dG(t,u)}{dt}= c*\integral_{t_0}^{u}{e^{c(t - s)} g(s) ds} \bruch{dt}{dt} [/mm]  +  [mm] e^{c(t - u)} [/mm] g(u) [mm] \bruch{du}{dt} [/mm] =...

mit [mm] \bruch{dt}{dt} =\bruch{du}{dt} [/mm] = 1 und u=t

...= [mm] c*\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm]  +  [mm] e^{c(t - t)} [/mm] g(t) = [mm] c*\integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm]  +   g(t)

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Nachvollziehen von Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Sa 26.06.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]b(t) = \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds}[/mm]
>
> Hier lassen sich weder Summen-, Produkt- noch Kettenregel anwenden

Hier lässt sich sogar ganz vorzüglich die Produktregel anwenden…

Gruß,
Gono

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Nachvollziehen von Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:49 Sa 26.06.2021
Autor: HJKweseleit

Ja, in diesem Spezialfall geht es tatsächlich, habe ich nicht gesehen:

b(t) = [mm] \integral_{t_0}^{t}{e^{c(t - s)} g(s) ds} [/mm] = [mm] e^{ct}\integral_{t_0}^{t}{e^{-c s} g(s) ds} [/mm] und jetzt Produktregel.



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