Multivariate Statistik: Matrix < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Schnepfi |
| Aufgabe | Seien [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] unabhängige, identisch multivariat normalverteilte n-dimensionale Zufallsvektoren
mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Kovarianzmatrix [mm] $\Sigma$, [/mm] d.h.
$ [mm] X_i\sim N(\mu,\Sigma)$.
[/mm]
Konstruieren sie eine Matrix [mm] $\Sigma^{-1/2}$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $\Sigma^{-1/2}(\Sigma^{-1/2})^T =\Sigma^{-1}$.
[/mm]
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Hallo,
Leider habe ich nicht mehr Infos als die Aufagebstellung, daher weiß ich nicht wie ich an dir Aufgabe rangehen soll.
Ist mit [mm] $\Sigma^{-1/2}$ [/mm] die Wurzel einer Matrix gemeint oder hat das hier eine andere Bedeutung? Wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mo 02.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Schnepfi,
was meinst du mit "Wurzel"? Der Begriff macht durchaus Sinn. Im
allgemeinen ist [mm] $\Sigma$ [/mm] symmetrisch und positiv definit, so dass die
sog. Spektraldarstellung gilt: [mm] $\Sigma=P\Lambda P^T$, [/mm] siehe beispielsweise Satz 5.3.4 hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-leipzig.de/MI/riedel/mathgeol/geosk/node24.html
Darin ist [mm] $\Lambda$ [/mm] die Diaganonalmatrix der Eigenwerte [mm] $\lambda_i>0$ [/mm] von [mm] $\Sigma$ [/mm] und $P$ ist eine orthogonale Matrix (mit $P^TP=I$), deren Spalten [mm] $p_i$ [/mm] zugehoerige Eigenvektoren sind, d.h., es gilt [mm] $\Sigma p_i=\lambda_i p_i$. [/mm] Definiere jetzt [mm] $\Sigma^{1/2}:=P\Lambda^{1/2}P^T$, [/mm] worin [mm] $\Lambda^{1/2}$ [/mm] die Diagonalmatrix mit den Werten [mm] $\lambda_i^{1/2}=\sqrt{\lambda_i}$ [/mm] ist und [mm] $\Sigma^{-1/2}:=P\Lambda^{-1/2}P^T$, [/mm] worin [mm] $\Lambda^{-1/2}$ [/mm] die Diagonalmatrix mit den Werten [mm] $\lambda_i^{-1/2}=1/\sqrt{\lambda_i}$ [/mm] ist. Dann gilt offenbar die Darstellung $ [mm] \Sigma^{-1/2}(\Sigma^{-1/2})^T =\Sigma^{-1} [/mm] $.
lg
Luis
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