Multiplikatives Inverses < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie folgenden Satz: a [mm] \in \IZ_{n} [/mm] besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses in [mm] \IZ_{n}, [/mm] wenn ggT(a,n) = 1. |
Ich verstehe den Lösungsweg im Skript nicht. Und zwar wird der euklidische Algorithmus angewandt, welcher ggT(a,n) = 1 berechnet und folgendes liefert:
s*a + t*n = 1.
Modulo n bedeutet dies gerade
s*a [mm] \equiv_{n} [/mm] 1.
Somit ist s das multiplikative Inverse.
Im Prinzip ist mir nur der letzte Schritt nicht klar. Ich weiß, was das multiplikative Inverse ist und den euklidischen Algorithmus habe ich auch verstanden. Nur, woher weiß man, dass s*a [mm] \equiv_{n} [/mm] 1 ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie folgenden Satz: a [mm]\in \IZ_{n}[/mm] besitzt genau
> dann ein multiplikatives Inverses in [mm]\IZ_{n},[/mm] wenn ggT(a,n)
> = 1.
>
> Ich verstehe den Lösungsweg im Skript nicht. Und zwar wird
> der euklidische Algorithmus angewandt, welcher ggT(a,n) = 1
> berechnet und folgendes liefert:
>
> s*a + t*n = 1.
>
> Modulo n bedeutet dies gerade
>
> s*a [mm]\equiv_{n}[/mm] 1.
>
> Somit ist s das multiplikative Inverse.
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> Im Prinzip ist mir nur der letzte Schritt nicht klar. Ich
> weiß, was das multiplikative Inverse ist und den
> euklidischen Algorithmus habe ich auch verstanden. Nur,
> woher weiß man, dass s*a [mm]\equiv_{n}[/mm] 1 ist?
Na, $s [mm] \cdot [/mm] a [mm] \equiv_n [/mm] 1$ heisst doch, dass $s a - 1$ durch $n$ teilbar ist. Und es ist $s a - 1 = t n$ gilt nach der Gleichung $s a + t n = 1$ 
LG Felix
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