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Multiplikative Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Sa 14.07.2012
Autor: el_grecco

Aufgabe
a) Wieviele Elemente hat die Gruppe [mm] $\IZ_{14}^{\*}$? [/mm]

b) Beschreiben Sie die Gruppe [mm] $\IZ_{14}^{\*}$ [/mm] vollständig, d.h. geben Sie alle Elemente dieser Gruppe zusammen mit ihrer Ordnung an. Erstellen Sie eine Tabelle, in der man das Ergebnis der Gruppenoperation für jeweils zwei der Elemente der Gruppe ablesen kann.

c) Es sei H die von dem Element 9 erzeugte Untergruppe. Beschreiben Sie H vollständig. Geben Sie zusätzlich alle rechten und linken Nebenklassen von H an!

d) Finden Sie eine andere Ihnen bekannte Gruppe, welche zu H isomorph ist. Begründen Sie Ihre Antwort, z.B. durch Angabe eines bijektiven Homomorphismus.

Hallo,

mir ist bei dieser Aufgabe nur die d) nicht klar. Der Vollständigkeit halber aber die gesamte  

Musterlösung:

a) [mm] $\varphi(14)=\varphi(2^{1}*7^{1})=(1*2^{0})*(6*7^{0})=6$ [/mm]

b)
[mm] $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \IZ_{14}^{\*} & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13\\ \hline \mbox{ord} & 1 & 6 & 6 & 3 & 3 & 2\\ \hline 1 & 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13\\ 3 & 3 & 9 & 1 & 13 & 5 & 11\\ 5 & 5 & 1 & 11 & 3 & 13 & 9\\ 9 & 9 & 13 & 3 & 11 & 1 & 5\\ 11 & 11 & 5 & 13 & 1 & 9 & 3\\ 13 & 13 & 11 & 9 & 5 & 3 & 1\\ \end{array}$ [/mm]

Die Tabelle ist an der Diagonalen gespiegelt, da die Gruppe abelsch ist.

c) Es gilt [mm] $9^{2}=11$ [/mm] und [mm] $9^{3}=1$, [/mm] die von 9 erzeugte Untergruppe besitzt also die drei Elemente [mm] $\{1,9,11\}$. [/mm] Die Ordnung dieser Elemente in der Untergruppe bleibt natürlich gleich.

[mm] $\begin{array}{c|ccc} H & 1 & 9 & 11\\ \hline 1 & 1 & 9 & 11\\ 9 & 9 & 11 & 1\\ 11 & 11 & 1 & 9\\ \end{array}$ [/mm]

Da [mm] $\IZ_{14}^{8}$ [/mm] abelsch ist, sind die rechten Nebenklassen identisch zu den linken. Außer der Untergruppe selbst gibt es nur noch die Nebenklasse [mm] $\{3,5,13\}$: [/mm]

$H*1 [mm] \quad \{1,9,11\}$ [/mm]
$H*3 [mm] \quad \{3,5,13\}$ [/mm]
$H*5 [mm] \quad \{3,5,13\}$ [/mm]
$H*9 [mm] \quad \{1,9,11\}$ [/mm]
$H*11 [mm] \quad \{1,9,11\}$ [/mm]
$H*13 [mm] \quad \{3,5,13\}$ [/mm]

d) Da die Zahl 3 nicht im Bild der eulerschen Phi-Funktion enthalten ist, kann es kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] geben mit $H [mm] \simeq \IZ_{n}^{\*}$. [/mm]
Die additive Gruppe der ganzen Zahlen modulo 3 hat jedoch ebenfalls genau 3 Elemente und ist tatsächlich isomorph zu H:

[mm] $\begin{array}{c|ccc} \langle \IZ_{3}, 0, +_{3} \rangle & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1\\ \end{array}$ [/mm]




Kurz zur c): Dort wo "Da [mm] $\IZ_{14}^{8}$ [/mm] abelsch ist, ..." sollte denke ich richtigerweise [mm] $\IZ_{14}^{\*}$ [/mm] stehen, oder?

Zur d):
- Ich verstehe die Argumentation mit der Zahl 3 und der eulerschen Phi-Funktion nicht. Kann bitte jemand ein paar Worte zu dieser Begründung schreiben?
- Def. Isomorphismus: "Ein Homomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] heißt Isomorphismus, wenn [mm] $\varphi$ [/mm] bijektiv." Jetzt blicke ich aber auf die Tabellen aus c) und d) und erkenne nichts. Auch hier wäre ich deshalb für ein paar hilfreiche Worte dankbar.


Vielen Dank für die Mühe!

Gruß
el_grecco


        
Bezug
Multiplikative Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Sa 14.07.2012
Autor: SEcki


> d) Finden Sie eine andere Ihnen bekannte Gruppe, welche zu
> H isomorph ist. Begründen Sie Ihre Antwort, z.B. durch
> Angabe eines bijektiven Homomorphismus.

> Kurz zur c): Dort wo "Da [mm]\IZ_{14}^{8}[/mm] abelsch ist, ..."
> sollte denke ich richtigerweise [mm]\IZ_{14}^{\*}[/mm] stehen,
> oder?

Ja (shift + 8 ist * ...)

> Zur d):
>  - Ich verstehe die Argumentation mit der Zahl 3 und der
> eulerschen Phi-Funktion nicht. Kann bitte jemand ein paar
> Worte zu dieser Begründung schreiben?

Die Gruppe kann halt nicht als multiplikative Einheitengruppe geschrieben werden. Denn die Anzahl hängt von er Phi-Funktion ab. Aber eigentlich braucht man das für die d) auch gar nicht.

>  - Def. Isomorphismus: "Ein Homomorphismus [mm]\varphi[/mm] heißt
> Isomorphismus, wenn [mm]\varphi[/mm] bijektiv." Jetzt blicke ich
> aber auf die Tabellen aus c) und d) und erkenne nichts.
> Auch hier wäre ich deshalb für ein paar hilfreiche Worte
> dankbar.

Substituiere! (Benenne um!) Ich nenne [m]0:=1,1:=9,2:=11[/m] und erhalte aus obiger Tabelle die untere. Das zeigt dann, wie man sich einen Gruppenhom. basteln kann - oder man ist mit "einfach umbenannt" zufrieden.

SEcki


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