Multiplikationstafel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 29.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die Menge aller Permutationen von A:={1,2,3} (also der bijektiven Abbildungen von A -> A). Wie wird hier eine Gruppenoperation definiert? Stellen Sie eine Multiplikationstafel auf. |
Hallo liebe Gemeinde!
Leider blicke ich bei der Gruppentheorie noch nicht durch...
also mein Ansatz:
es gibt 3! bijektive Abbildungen also 6
die möglichen Permutationspaare sind
1,1 1,2 1,3
2,1 2,2 2,3
3,1 3,2 3,3
und können eben auf 6 Arten bijektiv Abgebildet werden
Wie wird hier eine Gruppenoperation definiert?
keine Ahnung was hier gemeint ist...
Stellen Sie eine Multiplikationstafel auf.
habe ich leider auch noch nie gemacht... welche Zahlen oder Zahlengruppen soll ich hier miteinander multiplizieren?
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> Betrachten Sie die Menge aller Permutationen von A:={1,2,3}
> (also der bijektiven Abbildungen von A -> A). Wie wird hier
> eine Gruppenoperation definiert? Stellen Sie eine
> Multiplikationstafel auf.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Leider blicke ich bei der Gruppentheorie noch nicht
> durch...
>
> also mein Ansatz:
>
> es gibt 3! bijektive Abbildungen also 6
>
> die möglichen Permutationspaare sind
> 1,1 1,2 1,3
> 2,1 2,2 2,3 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> 3,1 3,2 3,3
Was meinst du mit "Permutationspaaren" ??
> und können eben auf 6 Arten bijektiv Abgebildet werden
>
> Wie wird hier eine Gruppenoperation definiert?
>
> keine Ahnung was hier gemeint ist...
>
> Stellen Sie eine Multiplikationstafel auf.
>
> habe ich leider auch noch nie gemacht... welche Zahlen oder
> Zahlengruppen soll ich hier miteinander multiplizieren?
Jede Permutation p der Menge [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] kann z.B. in der Form
[mm] $\pmat{1&2&3\\p(1)&p(2)&p(3)}$
[/mm]
dargestellt werden, also z.B.
$\ p1\ =\ [mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1}$ [/mm] $\ p2\ =\ [mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1}$
[/mm]
Dann wäre z.B. das "Produkt" $\ [mm] p1\circ{p2}$ [/mm] (zuerst p2, dann p1 !)
die Verknüpfung der beiden Abbildungen
$\ [mm] p1\circ{p2}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3}$
[/mm]
Nun kannst du alle 6 Permutationen mit geeigneten
Symbolen bezeichnen und dann die Gruppentafel aufstellen.
Um Permutationen zu notieren, ist auch die Zykelschreibweise
praktisch. Schau dir dazu mal diesen Thread an !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Mi 30.11.2011 | | Autor: | elmanuel |
Danke Al-Chw!!
> > die möglichen Permutationspaare sind
> > 1,1 1,2 1,3
> > 2,1 2,2 2,3
> > 3,1 3,2 3,3
>
> Was meinst du mit "Permutationspaaren" ??
ich meinte die 1,2 und 3 können nur entweder in 1,2 oder 3 abgebildet werden und insgesamt eben auf 6 arten bijektiv
> Nun kannst du alle 6 Permutationen mit geeigneten
> Symbolen bezeichnen und dann die Gruppentafel aufstellen.
nun ... erster versuch... ich glaub zwar nicht das ich das richtige gemacht habe aber trotzdem :)
p1 = [mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1} [/mm] p2 = [mm] \pmat{1&2&3\\3&1&2}
[/mm]
p3 = [mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3} [/mm] p4 = [mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2}
[/mm]
p5 = [mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3} [/mm] p6 = [mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1}
[/mm]
[mm] \circ [/mm] p1 p2 p3 p4 p5 p6
p1 [mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3}
[/mm]
p2 [mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3}
[/mm]
p3 [mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1}
[/mm]
p4 [mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1}
[/mm]
p5 [mm] \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2}
[/mm]
p6 [mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2}
[/mm]
ist dies jetzt die gefragte sogenannte multiplikationstafel??
beantwortet dies die frage nach der definition der gruppenoperation?
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> Danke Al-Chw!!
>
>
> > > die möglichen Permutationspaare sind
> > > 1,1 1,2 1,3
> > > 2,1 2,2 2,3
> > > 3,1 3,2 3,3
> >
> > Was meinst du mit "Permutationspaaren" ??
>
> ich meinte die 1,2 und 3 können nur entweder in 1,2 oder 3
> abgebildet werden und insgesamt eben auf 6 arten bijektiv
>
> > Nun kannst du alle 6 Permutationen mit geeigneten
> > Symbolen bezeichnen und dann die Gruppentafel
> aufstellen.
>
> nun ... erster versuch... ich glaub zwar nicht das ich das
> richtige gemacht habe aber trotzdem :)
>
> p1 = [mm]\pmat{1&2&3\\3&2&1}[/mm] p2 = [mm]\pmat{1&2&3\\3&1&2}[/mm]
> p3 = [mm]\pmat{1&2&3\\1&2&3}[/mm] p4 = [mm]\pmat{1&2&3\\1&3&2}[/mm]
> p5 = [mm]\pmat{1&2&3\\2&1&3}[/mm] p6 = [mm]\pmat{1&2&3\\2&3&1}[/mm]
>
> [mm]\circ[/mm] p1 p2 p3 p4 p5 p6
>
> p1 [mm]\pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3}[/mm]
>
> p2 [mm]\pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3}[/mm]
>
> p3 [mm]\pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1}[/mm]
>
> p4 [mm]\pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1}[/mm]
>
> p5 [mm]\pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2}[/mm]
>
> p6 [mm]\pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2}[/mm]
>
>
> ist dies jetzt die gefragte sogenannte
> multiplikationstafel??
Im Prinzip ja, wobei ich das nicht im einzelnen nachgerechnet habe. Wenn du aber schon die Bezeichnungen p1,...,p6 eingeführt hast, solltest du diese auch für die Tabelleneinträge benutzen.
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> beantwortet dies die frage nach der definition der
> gruppenoperation?
Die Gruppenoperation wird über die Verknüpfung (Hintereinanderausführung) von Abbildungen definiert, was du ja auch benutzt habt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Sa 03.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke donquijote!
gibt es für das beispiel {1,2,3}->{1,2,3}
eine möglichkeit die permutationen in einer weise zu sortieren sodaß die multiplikationstafel eine gewisse symmetrie erhält?
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> $ [mm] \circ [/mm] $ p1 p2 p3 p4 p5 p6
>
> p1 $ [mm] \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} [/mm] $
>
> p6 $ [mm] \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} [/mm] $
>
> p3 $ [mm] \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} [/mm] $
>
> p4 $ [mm] \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} [/mm] $
>
> p5 $ [mm] \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\1&2&3} \pmat{1&2&3\\1&3&2} [/mm] $
>
> p2 $ [mm] \pmat{1&2&3\\2&1&3} \pmat{1&2&3\\2&3&1} \pmat{1&2&3\\3&1&2} \pmat{1&2&3\\3&2&1} \pmat{1&2&3\\1&3&2} \pmat{1&2&3\\1&2&3} [/mm] $
Ich habe es mal so sortiert, dass die Kombinationen, die die Selbstabbildung ergeben die Diagonale ergeben. Daraus schließ ich,
dass es keine echte Symmetrie gibt.
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> Ich habe es mal so sortiert, dass die Kombinationen, die
> die Selbstabbildung ergeben die Diagonale ergeben. Daraus
> schließ ich,
> dass es keine echte Symmetrie gibt.
Hallo,
hier der Link zu einer Seite, wo man Gruppendiagramme
sehr gut darstellen lassen und auch die darin steckenden
Symmetrien durch farbliche Hervorhebung von Untergruppen
sichtbar machen kann:
![[]](/images/popup.gif) Group Tables and Subgroup Diagrams
Die in Gruppen steckenden Symmetrien sind einfach natur-
gemäss im Allgemeinen verwickelter, sprich reichhaltiger
als etwa eine einfache Spiegel- oder Punktsymmetrie !
LG Al-Chw.
(den obigen Link habe ich auch hier im Matheraum erfahren)
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