Multiplikation nicht def.bar < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
kennt jemand von euch zufällig eine Quelle, wo man den Beweis, dass die Multiplikation nicht über [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +, 0, 1)$ definierbar ist, nachlesen kann?
Vielen Dank.
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> Hallo,
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> kennt jemand von euch zufällig eine Quelle, wo man den
> Beweis, dass die Multiplikation nicht über [mm](\mathbb{N}, +, 0, 1)[/mm]
> definierbar ist, nachlesen kann?
Hallo,
ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:
man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?
LG Angela
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> Vielen Dank.
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> Hallo,
> ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:
> man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?
Hallo,
mit "nicht definierbar" ist gemeint, dass man mithilfe der zur Verfügung stehenden Zeichen [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +)$ man keine Formel hinschreiben kann, die das aussagt, was die Multiplikation tut. (Salopp formuliert).
Beispiel:
Etwa ist [mm] $\{0\}$ [/mm] definierbar über [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] <)$. Denn ich kann die Formel
[mm] $\varphi\equiv\forall v_0(v_0\neq v_1\to v_1
angeben.
So etwas ist für die Multiplikation nicht möglich, wenn man nur [mm] $(\mathbb{N}, [/mm] +)$ zur Verfügung hat.
Was ich verblüffend finde, da man die Multiplikation ja durch Addition ausdrücken kann.
[mm] $2\cdot [/mm] 3=2+2+2$
Ich interessiere mich für den Beweis.
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> > Hallo,
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> > ich frage mich gerade, ob ich irgendwie dumm bin:
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> > man kann doch in den natürlichen Zählen multiplizieren?
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> Hallo,
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> mit "nicht definierbar" ist gemeint, dass man mithilfe der
> zur Verfügung stehenden Zeichen [mm](\mathbb{N}, +)[/mm] man keine
> Formel hinschreiben kann, die das aussagt, was die
> Multiplikation tut. (Salopp formuliert).
Wahrscheinlich liegt das daran, dass + eckig und [mm] \cdot{} [/mm] rund ist und dass man mit dem Buchstaben [mm] \IN [/mm] keine ganzen Wörter oder Sätze bilden kann.
Aber ernsthaft:
Zunächst mal gehört 0 gar nicht zu [mm] \IN, [/mm] denn [mm] \IN [/mm] umfasst die natürlichen Zahlen, mit denen man man Kühe abzählt, und man zählt bei 3 Kühen 1,2,3 und nicht 0,1,2.
Deshalb weiß ich nicht, was du unten mit der 0 willst, warum sie in Mengenklammern steht und was die logischen Zeichen bewirken sollen. Willst du damit die Zahl 0 definieren? Und meinst du damit evtl. Folgendes:
[mm] \exists v_1 \forall v_0 \in \IN: v_1
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> Beispiel:
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> Etwa ist [mm]\{0\}[/mm] definierbar über [mm](\mathbb{N}, <)[/mm]. Denn ich
> kann die Formel
>
> [mm]\varphi\equiv\forall v_0(v_0\neq v_1\to v_1
>
> angeben.
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> So etwas ist für die Multiplikation nicht möglich, wenn
> man nur [mm](\mathbb{N}, +)[/mm] zur Verfügung hat.
> Was ich verblüffend finde, da man die Multiplikation ja
> durch Addition ausdrücken kann.
Die Frage ist, was du unter ausdrücken verstehst. Für die natürlichen Zahlen gilt das Prinzip der vollständigen Induktion (Peano-Axiome, [mm] \IN [/mm] lässt sich geradezu durch vollständige Induktion konstruieren), und genau damit definiert man rekursiv(!) die Multiplikation:
1*n=n =Induktionsanfang
Rekursion: (a+1)*n=a*n+n =Induktionsschritt
(a*b=b*a =Zusatzregel)
Beispiel:
1*5=5 =Induktionsanfang
2*5=(1+1)*5=1*5+5=5*5=10 =Induktionsschritt
3*5=(2+1)*5=2*5+5=10+5=15 =Induktionsschritt
4*5=(3+1)*5=3*5+5=15+5=20 =Induktionsschritt
usw.
Dabei wird die Multiplikation nur auf die Addition zurückgeführt, wobei man natürlich Klammern benutzt und das "neue" Zeichen * , ohne dass aber dessen Bedeutungsinhalt in der praktischen Anwendung herangezogen wird.
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> [mm]2\cdot 3=2+2+2[/mm]
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> Ich interessiere mich für den Beweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 So 08.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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