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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Mi 10.02.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
ich schreibe am Samstag die DGL-Klausur und habe bei einigen alten Klausuren des Dozenten ein paar Multiple-Choic Fragen gefunden.
Leider natürlich nur die Fragen und nicht die Antworten.
Ich wäre euch also sehr dankbar, wenn mir jdm helfen kann und mir sagt ob das was ich denke richtig ist und mir bei Fragen, die ich selbst nicht beantworten kann, die richtige Lösung sagt mit einer kurzen Erklärung.
Frage 1:
Sei [mm] y_{1} [/mm] eine Lösung der DIfferentialgleichung $y'=f(x,y)$, wobei $f: [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion ist, und [mm] $f(x+\lambda [/mm] , y) = f(x,y) $ für ein festes [mm] \lambda [/mm] > 0 und alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Dann ist [mm] y_{2}=y_{1}(x+\lambda)ebenfalls [/mm] eine Lösung
Ich meine die Aussage wäre richtig, sofern eine Funktion stetig ist, konnte man sie doch um eine konstante verschieben oder nicht?
Frage 2:
Sei $f: [mm] \IR^{2} \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion.
Dann besitzt das AWP $y'=f(x,y)$ $ [mm] y(\xi)=\eta$ [/mm] eine Lösung, welche auf ganz [mm] \IR [/mm] existiert.
Denke die Aussage ist falsch, nach Peano wissen wir doch, dass eine Lösung nur in einer festgelegten Umgebung existiert, nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] .
Oder ist es rictig, weil man Lösungen "anstückeln" kann?
Frage 3:
Eine Folge Lipschitzstetiger Funktionen ist gleichgradig stetig.
Hätte richtig gesagt, aber nur wenn die Lipschitzkonstante einheitlich ist. Kann ich das dann vorausetzen?
Frage 4:
Sei $ A [mm] \in \IR^{n x} [/mm] $ eine symmetrische Matrix (d.h. [mm] A=A^{t}).
[/mm]
Dann besitzt das lineare Gleichungssystem $y'=Ay$ keine echt periodische Lösung. Dabei sind konstante Lösungen nicht echt periodisch.
Leider keine konkrete Ahnung, ich würde zwar raten, dass es richtig ist, aber da eine falsche Antwort zu einem Punktabzug von -2 führt...rate ich nicht ;)
Frage 5:
Sei $A [mm] \in \IR^{n x n}$ [/mm] mit{A x| [mm] x\in \IR^{n} }\not=\IR^{n}.
[/mm]
Dann existiert ein [mm] \eta \in \IR^{n}, \eta \not= [/mm] 0 so dass [mm] y_{1}\equiv\eta [/mm] eine konstante Lösung des DGLsystems $y'=Ay$ ist.
Würde sagen das ist richtig, allerdings ohne konkrete Begründung, klingt für mich einfach logisch.
Frage 6:
Sei $ [mm] f:\IR \to \IR [/mm] $ eine Lipschitzstetige Funktion. Dann besitzt das AWP $y''=f(y)$ [mm] $y(\xi)=\eta$ [/mm] eine eindeutige Lösung.
Müsste auch wahr sein das ist doch die Picard-Lindelöf Bedingung oder nicht?
Frage 7:
Das lineare DGLsystem $y'=Ay$ (mit A [mm] \in \IR^{n x n}) [/mm] besitze [mm] y_{1},...,y_{n} [/mm] als Lösungen, welche ausgewertet an einer Stelle [mm] \xi \in \IR [/mm] n linesr abhängige Vektoren ergeben.
Dann sind diese Lösungen linear abhängig im Vektorraum der Funktionen.
Keine Ahnung^^
Frage 8:
Sie [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] stetig differenzierbar bezgl. $y$.
Dann besitzt das AWP [mm] $y'=f(x,y),y(\xi)=\eta$ [/mm] eine eindeutige auf ganz [mm] \IR [/mm] existierende Lösung.
Auch hier auf Grund von Peano meiner Ansicht nach falsch.
Vielen Dank für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mi 10.02.2010 | | Autor: | pelzig |
> Frage 1:
> Sei [mm]y_{1}[/mm] eine Lösung der DIfferentialgleichung
> [mm]y'=f(x,y)[/mm], wobei [mm]f: \IR x \IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion
> ist, und [mm]f(x+\lambda , y) = f(x,y)[/mm] für ein festes [mm]\lambda[/mm]
> > 0 und alle x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt.
> Dann ist [mm]y_{2}=y_{1}(x+\lambda)ebenfalls[/mm] eine Lösung
>
> Ich meine die Aussage wäre richtig, sofern eine Funktion
> stetig ist, konnte man sie doch um eine konstante
> verschieben oder nicht?
Die Aussage ist richtig, aber die Begründung ist falsch. Du musst einfach mal [mm] $y_2$ [/mm] in die DGL einsetzen und zeigen, dass sie auch eine Lösung ist!
> Frage 2:
> Sei [mm]f: \IR^{2} \to \IR[/mm] eine stetige Funktion.
> Dann besitzt das AWP [mm]y'=f(x,y)[/mm] [mm]y(\xi)=\eta[/mm] eine Lösung,
> welche auf ganz [mm]\IR[/mm] existiert.
>
> Denke die Aussage ist falsch, nach Peano wissen wir doch,
> dass eine Lösung nur in einer festgelegten Umgebung
> existiert, nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] .
> Oder ist es rictig, weil man Lösungen "anstückeln"
> kann?
Naja, also Peano sagt nicht "die Lösung existiert nur in einem kleinen Bereich", sondern "die Lösung existiert in einem kleinen Bereich". Es kann natürlich vorkommen, dass eine Lösung für alle [mm] $\IR$ [/mm] existiert, aber i.A. ist das nicht der Fall. Das mit dem Anstückeln von Lösungen führt lediglich dazu, dass man eine maximale (d.h. nicht fortsetzbare) Lösung erhält.
>
> Frage 3:
> Eine Folge Lipschitzstetiger Funktionen ist gleichgradig
> stetig.
>
> Hätte richtig gesagt, aber nur wenn die Lipschitzkonstante
> einheitlich ist. Kann ich das dann vorausetzen?
Die Folge der Lipschitzkonstanten muss beschränkt sein, also ist die Aussage i.A. falsch.
> Frage 4:
> Sei [mm]A \in \IR^{n x}[/mm] eine symmetrische Matrix (d.h.
> [mm]A=A^{t}).[/mm]
> Dann besitzt das lineare Gleichungssystem [mm]y'=Ay[/mm] keine echt
> periodische Lösung. Dabei sind konstante Lösungen nicht
> echt periodisch.
>
> Leider keine konkrete Ahnung, ich würde zwar raten, dass
> es richtig ist, aber da eine falsche Antwort zu einem
> Punktabzug von -2 führt...rate ich nicht ;)
Da $A$ symmetrisch ist, gibt es nur reelle Eigenwerte und die Lösungen werden ja erzeugt von Funktionen der Form [mm] $v\cdot^e^\lambda$ [/mm] wobei v ein EV zum EW [mm] $\lambda$ [/mm] ist. Also ist die Aussage richtig!
> Frage 5:
> Sei [mm]A \in \IR^{n x n}[/mm] mit [mm]\{Ax\mid x\in \IR^{n}\}\not=\IR^{n}.[/mm]
>
> Dann existiert ein [mm]\eta \in \IR^{n}, \eta \not=[/mm] 0 so dass
> [mm]y_{1}\equiv\eta[/mm] eine konstante Lösung des DGLsystems [mm]y'=Ay[/mm]
> ist.
>
> Würde sagen das ist richtig, allerdings ohne konkrete
> Begründung, klingt für mich einfach logisch.
Einfache Lineare Algebra: [mm] $$\{Ax\in\IR^n\mid x\in\IR^n\}\ne\IR^n\gdw [/mm] A$ nicht surjektiv [mm] $\gdw [/mm] A$ nicht [mm] injektiv$\gdw \ker A\ne\{0\}$$
[/mm]
Also gibt es [mm] $\eta\in\ker{A}\setminus\{0\}$ [/mm] und [mm] $y(x):=\eta$ [/mm] erfüllt [mm] $y'(x)=0=A\eta=Ay(x)$ [/mm] für alle $x$. Also wahre Aussage.
> Frage 6:
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Lipschitzstetige Funktion. Dann
> besitzt das AWP [mm]y''=f(y)[/mm] [mm]y(\xi)=\eta[/mm] eine eindeutige
> Lösung.
>
> Müsste auch wahr sein das ist doch die Picard-Lindelöf
> Bedingung oder nicht?
Picard-Lindelöf macht m.E. nur eine Aussage für DGL der Ordnung 1, also musst du das System erstmal umwandeln!
>
> Frage 7:
> Das lineare DGLsystem [mm]y'=Ay[/mm] (mit A [mm]\in \IR^{n x n})[/mm]
> besitze [mm]y_{1},...,y_{n}[/mm] als Lösungen, welche ausgewertet
> an einer Stelle [mm]\xi \in \IR[/mm] n linesr abhängige Vektoren
> ergeben.
> Dann sind diese Lösungen linear abhängig im Vektorraum
> der Funktionen.
>
> Keine Ahnung^^
Aussage ist falsch, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
> Frage 8:
> Sie [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] stetig differenzierbar bezgl. [mm]y[/mm].
> Dann besitzt das AWP [mm]y'=f(x,y),y(\xi)=\eta[/mm] eine eindeutige
> auf ganz [mm]\IR[/mm] existierende Lösung.
>
> Auch hier auf Grund von Peano meiner Ansicht nach falsch.
Peano ist keine Begründung, dass die Aussage falsch ist. Was du brauchst ist ein Gegenbeispiel!
Gruß, Robert
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