Multilineare,alternierende Abb < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man fasst [mm] \IC [/mm] als zweidimensionalen [mm] \IR [/mm] -Vektorraum auf. Kann es eine Determinantenfunktion [mm] \Delta: \IC^2\rightarrow\IR [/mm] geben mit [mm] \Delta(2i,1+i)=4 [/mm] und [mm] \Delta(5+3i,-2-i)=2? [/mm] Begründung! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Determinantenfunktion eine multilineare, alternierende Abbildung ist. Ich weiß aber nicht, wie ich mit dieser Information diese Aufgabe lösen kann. Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte. Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mo 07.02.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man fasst [mm]\IC[/mm] als zweidimensionalen [mm]\IR[/mm] -Vektorraum auf.
> Kann es eine Determinantenfunktion [mm]\Delta: \IC^2\rightarrow\IR[/mm]
> geben mit [mm]\Delta(2i,1+i)=4[/mm] und [mm]\Delta(5+3i,-2-i)=2?[/mm]
> Begründung!
> Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die
> Determinantenfunktion eine multilineare, alternierende
> Abbildung ist. Ich weiß aber nicht, wie ich mit dieser
> Information diese Aufgabe lösen kann. Wäre nett, wenn mir
> jemand dabei helfen könnte. Danke für eure Hilfe.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, folgt aus der 1. Bedingung (i, 1) = 2 (wg. 4 = (2i, 1+i) = 2(i, 1+i) = 2(i, 1)) und aus der 2. Bed. (i, 1) = -2 ( wg. 2 = (5+3i, -2-i) = (-1, -2-i) = (-1, -i) = (1. i) = -(i, 1)). Was ein Widerspruch wäre.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Mahlzeit statler,
danke für deinen freundlichen Empfang und für deine Hilfe. Wie bist du auf diese Umformungen gekommen? Danke vielmals für deine Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 07.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> danke für deinen freundlichen Empfang und für deine
> Hilfe. Wie bist du auf diese Umformungen gekommen?
4 = (2i, 1+i) | Originalbedingung
= 2(i, 1+i) | wegen Linearität im 1. Argument
= 2(i, 1) | 1. Argument vom 2. abziehen
und
2 = (5+3i, -2-i) | Originalbedingung
= (-1, -2-i) | das 3fache des 2. Arguments zum 1. addieren
= (-1, -i) | das Doppelte des 1. Arguments vom 2. abziehen
= (1. i) | beide Argumente mit -1 multiplizieren
= -(i, 1) | Argumente vertauscht
Gruß
Dieter
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| Aufgabe | | Genauso wie vorhin, nur dass [mm] \Delta(1,-1+i)=2 [/mm] und [mm] \Delta(2+3i, [/mm] 1-2i)=5 sind. |
Ich habe noch eine Frage, bevor ich versuche obigen Ausdruck umzuformen. Du hast ja beide Ausdrücke umgeformt, sodass am Ende (i,1) dastand. Warum und wieso? Was war das Ziel? Und gibt es nun eine Determinantenfunktion, die diese Aufgabe von vorhin erfüllt?
2=(1,-1+i) | Originalbedingung
=(1,i) | 1. Argument zum 2. Argument addieren
5=(2+3i, 1-2i) | Originalbedingung
=(1+i, 1-2i) | 2. Argument zum 1. Argument addieren
= und hier komme ich nicht mehr weiter.
Gibt es eine Determinantenfunktion, sodass das erfüllt ist? Danke dir vielmals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 07.02.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Genauso wie vorhin, nur dass [mm]\Delta(1,-1+i)=2[/mm] und
> [mm]\Delta(2+3i,[/mm] 1-2i)=5 sind.
> Ich habe noch eine Frage, bevor ich versuche obigen
> Ausdruck umzuformen. Du hast ja beide Ausdrücke umgeformt,
> sodass am Ende (i,1) dastand. Warum und wieso? Was war das
> Ziel? Und gibt es nun eine Determinantenfunktion, die diese
> Aufgabe von vorhin erfüllt?
Die letzte Frage solltest du dir selbst beantworten können.
> 2=(1,-1+i) | Originalbedingung
> =(1,i) | 1. Argument zum 2. Argument addieren
>
> 5=(2+3i, 1-2i) | Originalbedingung
= (7i, 1-2i) | das Doppelte des 2. vom 1. subtrahieren
= (7i, 1) | das (2/7)tel-fache des 1. zum 2. addieren
= 7(i, 1) | wegen Linearität im 1. Argument
= -7(1, i) | wegen Antisymmetrie
Und nun?
> Gibt es eine Determinantenfunktion, sodass das erfüllt
> ist? Danke dir vielmals.
Selbe Antwort wie oben.
Gruß
Dieter
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> Die letzte Frage solltest du dir selbst beantworten können.
Wenn ich es nur wüsste. :(
Allgemein gilt: [mm] \Delta\colon V^n\rightarrow [/mm] K
Kann ich (allgemein) sagen, dass ich versuche [mm] \Delta(x,y) [/mm] mit [mm] x,y\in V^n [/mm] auf eine Basis von [mm] V^n [/mm] zurückführe? Ist das so richtig? In unseren Fällen oben war ja (i,1) eine Basis von [mm] \IC\cong\IR^2. [/mm]
Und wie gehst du allgemein bei so etwas vor? Ich komm nämlich nicht auf deine Umformungen auch wenn ich mir noch so Mühe gebe.
Danke für deine Hilfe. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 08.02.2011 | | Autor: | statler |
> > Die letzte Frage solltest du dir selbst beantworten
> können.
>
> Wenn ich es nur wüsste. :(
Hallo!
> Allgemein gilt: [mm]\Delta\colon V^n\rightarrow[/mm] K
>
> Kann ich (allgemein) sagen, dass ich versuche [mm]\Delta(x,y)[/mm]
> mit [mm]x,y\in V^n[/mm] auf eine Basis von [mm]V^n[/mm] zurückführe? Ist
> das so richtig? In unseren Fällen oben war ja (i,1) eine
> Basis von [mm]\IC\cong\IR^2.[/mm]
Um das genau im Sinne deiner Vorlesung beantworten zu können, müßte man die dort eingeschlagene Vorgehensweise kennen. Die Determinante gehört in den Bereich der multilinearen Algebra (Graßmann-Algebra).
> Und wie gehst du allgemein bei so etwas vor? Ich komm
> nämlich nicht auf deine Umformungen auch wenn ich mir noch
> so Mühe gebe.
[mm] \Delta [/mm] soll multilinear und alternierend sein, und mehr habe ich auch nicht benutzt bei meinen Umformungen. Bei der Determinante einer quadratischen Matrix kannst du ein Vielfaches einer Spalte zu einer anderen addieren, ohne daß sich der Wert ändert; wenn du 2 Spalten vertauschst, ändert sich das Vorzeichen; wenn du eine Spalte mit einem Faktor multiplizierst, wird die Determinante mit diesem Faktor multipliziert. Die Spalten sind dabei die Vektoren. In deiner Aufgabe sind 1 und i die beiden Vektoren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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