Multiindizes < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien x, y, h [mm] \in \IR^{n}, [/mm] seien k, m [mm] \in \IN [/mm] und sei [mm] \alpha\in \IN^{n} [/mm] ein Multindex. Sei die Funktion f: [mm] \IR^{n}\to\IR [/mm] m-mal differenzierbar.
z.z.:
a) [mm] (\summe_{i=1}^{n}x_{i})^{k}=\summe_{|\alpha|=k}\bruch{k!}{\alpha!}*x^{\alpha}
[/mm]
b) [mm] \forall k\le [/mm] m: [mm] \summe_{j_{1},...,j_{k}=1}^{n}D_{j_{k}}...D_{j_{1}}f(y)h_{j_{1}}...h_{j_{k}}=\summe_{|\alpha|=k}\bruch{k!}{\alpha!}*D^{\alpha}f(y)h^{\alpha} [/mm] |
Heyho!
Ich denke mal, dass man das doch irgendwie mit Induktion beweisen können sollte...
Doch leider fällt es mir schon schwer, diese Ausdrücke überhaupt richtig zu verstehen, Multiindizes sind ja sowas von hässlich -_-
Aber das eine ist doch sowas wie eine verallgemeinerte binomische Formel, oder?
Bei a) z. B. sollte man da nach k induzieren oder doch nach n??? Mit beiden fällts mir etwas schwer...
Und bei b): Nunja, ob da Induktion wirklich geht, weiß ich noch nicht...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Salamence |
Heyho!
Bei b) habe ich mich mal an Induktion nach k probiert, allerdings krieg ich den Induktionsschluss einfach nicht hin...
Der Induktionsanfang (k=1) ist klar.
[mm] \summe_{j_{1},...,j_{k+1}=1}^{n}D_{j_{1}}...D_{j_{k+1}}f(y)*h_{j_{1}}...h_{j_{k+1}}
[/mm]
[mm] =\summe_{j_{k+1}=1}^{n}(\summe_{|\alpha|=k}\bruch{k!}{\alpha!}*D^{\alpha}f(y)*h^{\alpha}*h_{j_{k+1}}) [/mm] (nach IV und etwas umformen)
[mm] !=\summe_{|\alpha|=k+1}\bruch{(k+1)!}{\alpha!}*D^{\alpha}f(y)*h^{\alpha} [/mm] Warum gilt das nun aber???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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