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| Aufgabe | | Christian benötigt 5 . Er hat aber nur 1 (2 / 3 / 4 ). Er wettet mit Niklas, vorhersagen zu können, ob eine Münze auf Kopf oder Zahl landet. Hat er Recht, so gibt ihm Niklas einen Euro. Hat er Unrecht, so erhält Niklas den geworfenen Euro. Das Spiel ist beendet, wenn Christian keinen Euro mehr werfen kann oder er die 5 hat, die er benötigt. Wie oft wird eine Münze im Mittel geworfen, bis das Spiel vorbei ist? |
Erstmal die Übergangsmatrix (nach aufsteigenden Beträgen):
[mm] U=\pmat{ 1 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2} & 1 }
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach x Würfen ein absorbierender Zustand erreicht ist, ist ja dem folgenden Vektor zu entnehmen, wobei v der Startvektor ist.
[mm] \vec{v_{x}}=U^x*\vec{v}
[/mm]
Und die Wahrscheinlichkeit, dass es erst nach x Würfen dazu kommt:
[mm] \vec{p_{x}}=U^x*\vec{v}-U^{x-1}*\vec{v}
[/mm]
Der Erwartungswert ist ja die Summe aller x*p(x).
[mm] \vec{m}=\summe_{i=1}^{\infty}(x_{i}*(U^x*\vec{v}-U^{x-1}*\vec{v}))
[/mm]
Da es zwei absorbierende Zustände müsste [mm] m=m_{1}+m_{6} [/mm] sein.
Das ergibt:
1 m=4
2 m=6
3 m=6
4 m=4
Kann das so stimmen? Ich weiß, dass dafür auch die 2. Mittelwertsregel anwendbar sein sollte. Allerdings hatten wir die noch nicht und außerdem verstehe ich nicht mal die erste so richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 10.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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