Morgen LK Klausur! < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Do 01.03.2007 | | Autor: | JKS1988 |
| Aufgabe | | [mm] 9^n-1 [/mm] für alle n aus N durch 8 teilbar? |
Hallo!
Die oben aufgeführte Aufgabe soll bewiesen werden!
|
|
| |
|
Hallo JKS1988,
die Induktion ist nicht ganz "ohne" 
Den Induktionsanfang kriegst du hin, beim Induktionsschritt helfe ich nach
Also [mm] \underline{Induktionsschritt}: [/mm] n [mm] \longrightarrow [/mm] n+1
Sei [mm] n\in\IN [/mm] beliebig und gelte [mm] 8|9^n-1 [/mm] [INDUKTIONSVORAUSSETZUNG]
zz.: es gilt dann auch [mm] 8|9^{n+1}-1
[/mm]
also: [mm] 9^{n+1}-1=(9\cdot{}9^n)-1=(9\cdot{}9^n-9+9)-1=9(9^n-1)+(9-1)=9(9^n-1)+8
[/mm]
Nach IND.VOR gilt [mm] 8|9^n-1, [/mm] also auch [mm] 8|9\cdot{}(9^n-1)
[/mm]
Außerdem gilt 8|8
Also teilt 8 beide Summanden, somit auch deren Summe, also [mm] 8|9(9^n-1)+8=9^{n+1}-1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion