Monotonieverhalten zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Sa 02.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie den maximalen Wert a Element R, so dass die Funktion f: [1, a] -> R mit f(x) = sin(log(x)) streng monoton steigend sind.
2. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die durch f(x) := x * [mm] (x^2)^{1/2} [/mm] definierte Funktion f: [-2, 2] -> R streng monoton steigend ist.
(In der Vorlesung haben wir nch keine Ableitungen etc. gehabt, also muss ich es augenscheinlich irgendwie ohne Extrempunktbestimmung etc machen) |
zu 1 sind meine Überlegungen:
Da ich leider nicht ableiten und nach Extrempunkten suchen darf würde ich theoretisch sagen:
da x < x + a und f(x) < f(x+a) gelten muss ->
d.h. sin(log(x)) < sin(log(x+a)) muss gelten, nun habe ich aber keine ahnung wie ich das maximal mögliche a ermittel, limes bringt mir ja nichts, oder?!
und wenn ich x = 1 setze habe ich am ende h > 0... aber das bringt ja auch nix =(
zu 2.
An sich kann ich hier ja auch eine gleichung mit x+a o.ä, aufstellen und erhalte x1 < x2.... aber ich muss ja irgendwie rausbekommen, dass an der stelle 0 die steigung 0 ist und der graph somit nicht streng monoton steigt. hier fehlt mir also auch der korrekte ansatz bzw. die korrekte fortführung.
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[www.matheboard.de]
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Hi, n3cRo,
Frage 1: Soll log(x) der dekadische Logarithmus sein?
Frage 2: Darfst Du bekanntes Monotonieverhalten "gängiger Funktionen" mit verwenden?
Meine Antworten gelten unter der Voraussetzung, dass Du beide Fragen mit "ja" beantwortest!
Zu Frage 1: f(x) = sin(log(x))
Die Funktion h(x) = log(x) ist auf [1; [mm] +\infty[ [/mm] echt monoton zunehmend.
Die Funktion g(x) ist im Intervall [0; [mm] \bruch{\pi}{2}] [/mm] echt monoton zunehmend.
Daher ist die Funktion f(x) = g(h(x)) echt mon. zun. im Intervall [ 1 ; [mm] 10^{\bruch{\pi}{2}}].
[/mm]
Zu Frage 2: [mm] (x^{2})^{0,5} [/mm] = |x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Daher ist: f(x) = [mm] \begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x^{2}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Und die ist tatsächlich auf ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton zunehmend.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Sa 02.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
allgemein: ja es ist der dekadische log :)
zu 1.
woher kennst du die grenze von der funktion g?! bzw. wie berechnet man die?
und gibts echt keine möglichkeit das irgendwie mit x+a zu lösen??
zu 2.
ich hab mir den graph in derive ausgeben lassen und im 0 punkt ist die steigung doch 0, also ist er doch nicht streng monoton steigend oder??
danke :)
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Hi, n3cRo
> allgemein: ja es ist der dekadische log :)
>
> zu 1.
> woher kennst du die grenze von der funktion g?! bzw. wie
> berechnet man die?
log(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] | [mm] 10^{...}
[/mm]
x = [mm] 10^{\bruch{\pi}{2}}
[/mm]
> und gibts echt keine möglichkeit das irgendwie mit x+a zu
> lösen??
Bei DER Funktion ist das eher unwahrscheinlich!
> zu 2.
> ich hab mir den graph in derive ausgeben lassen und im 0
> punkt ist die steigung doch 0, also ist er doch nicht
> streng monoton steigend oder??
Da verwechselst Du was: Monotonie "in einem Punkt" gibt es nämlich nicht!
Drum ja auch die von Dir angedeutete Methode mit [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}!
[/mm]
Das bedeutet anschaulich: Wenn man zwei beliebige Punkte des Funktionsgraphen miteinander vergleicht und der weiter rechts liegende ist immer oberhalb des weiter links liegenden, so ist der Funktionsgraph "auf dem betrachteten Intervall" echt monoton steigend.
Daraus ergibt sich übrigens automatisch:
Gilt f'(x) > 0 in einem Intervall und LEDIGLICH AN EINZELNEN STELLEN [mm] x_{i} [/mm] ergibt sich [mm] f'(x_{i}) [/mm] = 0, so ist der Funktionsgraph im GESAMTEN INTERVALL echt monoton steigend.
Bestes Beispiel: Der Graph von f(x) = [mm] x^{3} [/mm] ist auf ganz [mm] \IR [/mm] echt monoton steigend, obwohl für x=0 bekanntermaßen f'(0) = 0 gilt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:55 So 03.12.2006 | | Autor: | n3cRo |
ok, wenn die Funktion streng monoton steigend ist müsste ich ja auch eine Umkehrfunktion bilden können, die wäre dann bei mir wurzel x, aber damit habe ich ja nur die werte > 0 erfasst =( was mache ich da für die negativen werte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 So 03.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen n3cRo!
Für Deine Funktion $f(x) \ = \ x*|x| \ = \ [mm] \begin{cases} -x^2, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x^2, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$ [/mm] musst Du die Umkehrfunktion dann auch in zwei Teilfunktionen angeben.
Deine genannte Teilfunktion der Umkehrfunktion ist lediglich gültig für $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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