Monotonieverhalten untersuchen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Fkt. [mm] f_{a}(t)=a*t*e^{-0,25t} [/mm] in Abhängigkeit von a. |
Hallo,
hab diese Aufgabe bekommen und weiß leider nicht mehr, wie ich Monotonieverhalten berechnen kann...und vorallem nicht, wie das bei dieser Schar geht, würde mich daher sehr über Hilfe freuen.
Lieber Gruß,
Steppenwolf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steppenwolf!
Die Monotonie kannst Du über die 1. Ableitung (= Steigungsfunktion) ermitteln. Es gilt:
$$f'(x) \ < \ 0 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ f \ [mm] \text{ist monoton fallend}$$
[/mm]
$$f'(x) \ > \ 0 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ f \ [mm] \text{ist monoton steigend}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ah, ok, alles klar - bin mir noch nicht sicher, ob ich genau verstanden habe, warum das so ist...ich überleg nochmal ;)
Hab schonmal die 1. Ableitung bestimmt:
[mm] f_{a}'(t) [/mm] = [mm] a[(1-0,25t)*e^{-0,25t}]
[/mm]
So, wie krieg ich das denn jetzt hin, also wie entscheid ich in Abhängigkeit von a wann das fällt, bzw. wann es kleiner 0 ist??
Danke + vg
Steppenwolf.
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Hallo Steppenwolf.,
> Ah, ok, alles klar - bin mir noch nicht sicher, ob ich
> genau verstanden habe, warum das so ist...ich überleg
> nochmal ;)
>
> Hab schonmal die 1. Ableitung bestimmt:
>
> [mm]f_{a}'(t)[/mm] = [mm]a[(1-0,25t)*e^{-0,25t}][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist ein bisschen verschachtelt, nehmen wir zuerst mal den "blöden" Fall a=0 raus, für a=0 hättest du [mm] $f_0(t)=0$, [/mm] das wäre die konstante Nullfunktion
Nehmen wir nun also für die weitere Überlegung [mm] $a\neq [/mm] 0$ an
Schaue dir zuerst das Produkt [mm] $(1-0,25t)\cdot{}e^{-0,25t}$ [/mm] an
Der hintere Faktor [mm] $e^{-0,25t}$ [/mm] ist für jedes t sicher größer als Null
Der Faktor $1-0,25t$ ist in Abhängigkeit von t größergleich oder kleiner als Null
Für [mm] $t\le [/mm] 4$ ist [mm] $1-0,25t\ge [/mm] 0$ (nachrechnen)
Damit wäre dann [mm] $\underbrace{(1-0,25t)}_{\ge 0}\cdot{}\underbrace{e^{-0,25t}}_{> 0} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] 0$
Also nehmen wir den Faktor a noch hinzu:
1.Fall (A): $a \ > \ 0$ und [mm] $t\le [/mm] 4$
Dann ist [mm] $\underbrace{a}_{>0}\cdot{}\underbrace{(1-0,25t)}_{\ge 0}\cdot{}\underbrace{e^{-0,25t}}_{>0} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] 0$
Also monoton wachsend auf dem Intervall [mm] $(-\infty,4]$ [/mm] für $a>0$
Nun mach du mal weiter 1.Fall (B): $a \ < \ 0$ und [mm] $t\le [/mm] 4$
Wie sieht dann das Produkt und die Vorzeichenverteilung aus?
Dann musst du dir die Chose noch für die $t>4$ anschauen, im 1. Fall hatten wir [mm] $t\le [/mm] 4$, also [mm] $t\in(-\infty,4]$
[/mm]
wieder mit 2 Unterfällen für a ...
Fall 2.A: $a>0$ und $t>4$
Fall 2.B: $a<0$ und $t>4$
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> So, wie krieg ich das denn jetzt hin, also wie entscheid
> ich in Abhängigkeit von a wann das fällt, bzw. wann es
> kleiner 0 ist??
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> Danke + vg
>
> Steppenwolf.
LG
schachuzipus
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