Monotonieverhalten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn ich eine Kurvendiskussion mache und das Monotonieverhalten bestimmen soll.
Habe ich außer der Definition: [mm] f(x_1) [/mm] < oder > [mm] f(x_2) [/mm] eine Möglichkeit schnell auf das Monotonieverhalten zu schließen? War da nicht was mit den Ableitungen?
Danke fürs auf die Sprünge helfen :)
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Hallo, als Beispiel die Funktion [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] hier kennst du ganz bestimmt das Monotonieverhalten, jetzt bilde die Ableitung, was passiert für x<0 bzw. x>0 mit der 1. Ableitung, dann sollte deine Frage beantwortet sein, Steffi
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Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner gleich 0 ist, oder?
Wie ist das bei der 2. Ableitung. Warum kann ich hier quasi wieder die Monotonie bestimmen, nur dass sie hier konvex (linksgekrümmt) bzw konkav (rechtsgekrümmt) heißt? Wenn ich für f'' größer/kleiner gleich 0 suche, aslso die Intervalle, sind das in der Regel andere Intervalle?
Und: Wieso hat die Funktion in [mm] x_0 [/mm] ein globales Minimum, wenn die Funktion konvex ist? Was stellt den Wert [mm] x_0 [/mm] da? Meint das die zweite Ableitung =0?
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> Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die
> Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner
> gleich 0 ist, oder?
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> Wie ist das bei der 2. Ableitung. Warum kann ich hier quasi
> wieder die Monotonie bestimmen, nur dass sie hier konvex
> (linksgekrümmt) bzw konkav (rechtsgekrümmt) heißt? Wenn ich
> für f'' größer/kleiner gleich 0 suche, aslso die
> Intervalle, sind das in der Regel andere Intervalle?
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> Und: Wieso hat die Funktion in [mm]x_0[/mm] ein globales Minimum,
> wenn die Funktion konvex ist? Was stellt den Wert [mm]x_0[/mm] da?
> Meint das die zweite Ableitung =0?
Ich versuchs nochmal :) Frage ist: Was sagt mir die Krümmung im Gegensatz zur Monotonie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Die Krümmung sagt lediglich aus, in welche Richtung man den Fahrradlenker drehen muss, wenn man auf dem Funktionsgraphen mit dem Rad fährt.
Aus der Krümmung kannst Du nicht auf die Art der Monotonie folgern. Denn es gibt sowohl monoton fallende Kurven mit Linkskrümmung als auch monoton fallende Kurven mit Rechtskrümmung (und umgekehrt).
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:22 Di 27.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also reicht es, wenn ich die Ableitungen habe, die
> Intervalle zu suchen, wo die Ableitung größer bzw kleiner
> gleich 0 ist, oder?
Sie kann natuerlich auch noch gleich 0 sein. Das muss aber nicht schlimm sein: z.B. ist bei $f(x) = [mm] x^3$ [/mm] in $x = 0$ die Ableitung 0 (und sonst positiv), aber die Funktion ist trotzdem ueberall streng monoton steigend.
Allgemein gilt fuer eine differenzierbare Funktion:
Ableitung $> 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton steigend
Ableitung [mm] $\ge [/mm] 0$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] monoton steigend
Ableitung [mm] $\le [/mm] 0$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] monoton fallend
Ableitung $< 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] streng monoton fallend
Bei den strengen Varianten gelten die Rueckrichtungen erstmal nicht, siehe das obige Gegenbeispiel.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 27.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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