Monotonie und Beschraenktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen [mm] (a_{n}) [/mm] n N auf Monotonie und Beschraenktheit:
a) [mm] \bruch{2n-1}{3n-1} [/mm] |
Hi,
hab die Aufgabe heute mal angefangen - wird auch vermutlich einfach sein.
Laut Musterloesung ist die Reihe monoton wachsen mit der Beschraenktheit:
[mm] 0
Die Monotonie wurde mit dem Ansatz:
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] > 0
Daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{(3n+2)(3n-1)}>0
[/mm]
Somit wahr und somit ist die Reihe monoton wachsen. (Richtig?)
Wenn man sich die einzelnen Reihenmitglieder anschaut, sollte das auch passen. Allerdings ist die Beschraenktheit mein großes Problem.
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - muesste das nicht somit die untere Grenze sein? Also anstelle 0 (aus der Musterloesung) 0.5?
Und wie kommt man auf die obere Beschraenktheit von 1? Selbst wenn ich in der Reihe [mm] a_{10000000} [/mm] ausrechne komme ich immer naeher an die 0.66666, aber nie an die 1? Also wie kommt man auf sowas?
Hoffe mir kann da jemand helfen  .
Vielen Dank im voraus!
MFG Tim
|
|
| |
|
Hallo
> Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen [mm](a_{n})[/mm] n N auf
> Monotonie und Beschraenktheit:
>
> a) [mm]\bruch{2n-1}{3n-1}[/mm]
> Hi,
> hab die Aufgabe heute mal angefangen - wird auch
> vermutlich einfach sein.
>
> Laut Musterloesung ist die Reihe monoton wachsen mit der
> Beschraenktheit:
>
> [mm]0
>
> Die Monotonie wurde mit dem Ansatz:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] > 0
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{(3n+2)(3n-1)}>0[/mm]
>
> Somit wahr und somit ist die Reihe monoton wachsen.
(eigentlich handelt es sich hier um eine Folge)
> (Richtig?)
ja, sehr schön :)
> Wenn man sich die einzelnen Reihenmitglieder anschaut,
> sollte das auch passen. Allerdings ist die Beschraenktheit
> mein großes Problem.
>
> [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - muesste das nicht somit die untere
> Grenze sein? Also anstelle 0 (aus der Musterloesung) 0.5?
Falls eine Zahl untere Schranke einer Menge ist, dann ist auch jede kleinere Zahl eine untere Schranke. Du hast Recht, dass 1/2 die grösste untere Schranke der Menge der Folgenglieder ist.
> Und wie kommt man auf die obere Beschraenktheit von 1?
> Selbst wenn ich in der Reihe [mm]a_{10000000}[/mm] ausrechne komme
> ich immer naeher an die 0.66666, aber nie an die 1? Also
> wie kommt man auf sowas?
Man könnte sich die Folgenvorschrift ein bisschen umschreiben
[mm]\bruch{2n-1}{3n-1}=1-\bruch{n}{3n-1}=1-\bruch{1}{3-1/n}[/mm]
[mm]\bruch{1}{3-1/n}[/mm] ist für alle n grösser als 0.
1 - etwas grösser als 0 ist kleiner als 1.
Hier sieht man auch schön, dass die Folge monoton wächst.
Oder du fragst einfach, ob
[mm]\bruch{2n-1}{3n-1}<1[/mm] für alle n gilt, das ist äquivalent mit
[mm]2n-1<3n-1[/mm]...[mm]2n<3n[/mm]...[mm]2<3[/mm] gilt offensichtlich für alle n.
Falls ihr konvergenz gemacht habt, habt ihr vielleicht auch gemacht, dass eine konvergente Folge notwendig beschränkt ist (von oben und unten).
Die Folge hier konvergiert gegen 2/3, also ist sie beschränkt
> Hoffe mir kann da jemand helfen .
> Vielen Dank im voraus!
>
> MFG Tim
mfg Strangelet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 05.12.2008 | | Autor: | evilmaker |
Vielen Dank!
Dann bin ich doch gar nicht so dumm, wie ich dachte  .
MFG Tim
|
|
|
|
