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Monotonie, Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Mi 23.05.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Sei [mm] a_{n+1} [/mm] = 3 - [mm] 2/a_n [/mm]
mit [mm] a_0 [/mm] = 5

Zeige die Monotonie [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n [/mm] mittels Induktion.

Zuerst habe ich ausgerechnet die Beschränktheit (da das ein Punkt in der aufgabe war)
[mm] a_n [/mm] > 2

Nun zz.: [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_n [/mm]
I.Anfang [mm] a_1 [/mm] = [mm] \frac{13}{3} [/mm] < [mm] a_0 [/mm] = 5
I.Annahme [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n-1} [/mm]
I.Schritt n -> n+1
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = 3 - [mm] \frac{2}{a_n} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{3a_n - 2 - a_n^2}{a_n} [/mm]
Der Nenner > 0
Ich komme da nicht weiter.

Mfg

        
Bezug
Monotonie, Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> Sei [mm]a_{n+1}[/mm] = 3 - [mm]2/a_n[/mm]
>  mit [mm]a_0[/mm] = 5
>  
> Zeige die Monotonie [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n[/mm] mittels Induktion.
>  Zuerst habe ich ausgerechnet die Beschränktheit (da das
> ein Punkt in der aufgabe war)
>  [mm]a_n[/mm] > 2

>  
> Nun zz.: [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_n[/mm]
>  I.Anfang [mm]a_1[/mm] = [mm]\frac{13}{3}[/mm] < [mm]a_0[/mm] = 5
>  I.Annahme [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n-1}[/mm]
>  I.Schritt n -> n+1

>  [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = 3 - [mm]\frac{2}{a_n}[/mm] - [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{3a_n - 2 - a_n^2}{a_n}[/mm]
>  
> Der Nenner > 0
> Ich komme da nicht weiter.

Na ja, dann mußt Du zeigen, dass der Zähler < 0 ist, dass also [mm] a_n^2-3a_n+2> [/mm] 0 ist für jedes n.

Da Du schon gezeigt hast, dass [mm] a_n [/mm] stets > 2 ist, mußt Du Dir noch überlegen, dass [mm] f(x):=x^2-3x+2 [/mm] immer >0 ist, wenn x> 2 ist.

FRED

>  
> Mfg


Bezug
                
Bezug
Monotonie, Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 23.05.2012
Autor: theresetom

Jap weil [mm] a_n^2 [/mm] > [mm] 3a_n [/mm]
bei [mm] a_n [/mm] > 2
Das ist mir intuitiv klar,Muss man da noch was beweisen?

LG

Bezug
                        
Bezug
Monotonie, Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Mi 23.05.2012
Autor: fred97


> Jap weil [mm]a_n^2[/mm] > [mm]3a_n[/mm]

Na, na, na ....  Für positives [mm] a_n [/mm] ist [mm]a_n^2[/mm] > [mm]3a_n[/mm]  gleichbedeutend mit [mm] a_n [/mm] > 3   !!!!



>  bei [mm]a_n[/mm] > 2

>  Das ist mir intuitiv klar,

Manchmal sind einem Sachen klar, die gar nicht stimmen ... (s.o.)

> Muss man da noch was beweisen?

Es ist [mm] x^2-3x+2=(x-2)(x-1). [/mm]

Wenn x>2 ist, so ist also x-2>0 und x-1>0, somit ist [mm] x^2-3x+2=(x-2)(x-1)>0 [/mm]

FRED


>  
> LG


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