Monotonie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Zu beweisen ist die Monotonie
von [mm] a_n [/mm] = sqrt(n) - sqrt(n-1)
Habs mit [mm] a_n+1 [/mm] < [mm] a_n [/mm] und [mm] a_n+1/ a_n [/mm] < 1 probiert.
Habs nicht hin bekommen. Oder gibts vielleicht gar keine Monotonie.
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet.
Danke
Fry
|
|
| |
|
Hi, Fry,
doch, doch: Die Folge ist echt monoton abnehmend.
Das ergibt sich bereits daraus, dass die zugehörige Funktion f(x) = [mm] \wurzel{x}-\wurzel{x-1} [/mm] echt monoton abnimmt. Hier beweist man's ja bekanntlich damit, dass man das Vorzeichen der 1.Ableitung ermittelt: f'(x)<0 für alle x > 1.
Ich probier's mal selbst mit Deinem Ansatz
[mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
<=> [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}
[/mm]
<=> [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1} [/mm] < [mm] 2*\wurzel{n}
[/mm]
Beide Seiten positiv; daher:
<=> [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1})^{2} [/mm] < [mm] (2*\wurzel{n})^{2}
[/mm]
<=> 2n + [mm] 2*\wurzel{n^{2}-1} [/mm] < 4n
<=> [mm] 2*\wurzel{n^{2}-1} [/mm] < 2n
<=> [mm] \wurzel{n^{2}-1} [/mm] < n
<=> [mm] \wurzel{n^{2}-1} [/mm] < [mm] \wurzel{n^{2}}
[/mm]
Da die letzte Aussage offensichtlich wahr ist, gilt dies auch für die erste. q.e.d.
|
|
|
|
