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Hallo,
einen schönen Ostermontag 
kann mir jemand behlflich sein?
Wie kann man am schnellsten eine Aussage über das Monotonieverhalten einer Funktion treffen?
Muss ich da über die Nullstellen der 1.Ableitung gehen?
Ich soll von der Monotonie auf die Existenz von Extrema schließen, aber wenn ich über de 1. Abl. gehe berechne ich ja potenzelle Extremstellen...
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
das weiß ich bereits:
[mm] f(x)=\bruch{x}{\wurzel{4-x^2}}
[/mm]
[mm] G_{f(x)} [/mm] ist punktsymmetrisch zum Ursprung
[mm] D=\IR [/mm] und -2<x<2
[mm] \limes_{x\rightarrow 2}=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -2}=-\infty
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
"Existenz von Extremstellen" heißt ja noch lange nicht, dass Du auch bestimmen sollst, wo genau diese liegen.
Die Monotonie von funktionne ermittelt man am besten über die 1. Ableitung (= Steigungsfunktion). Denn schließlich gilt:
[mm] $\text{Funktion (streng) monoton steigend}$ $\gdw$ [/mm] $f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
[mm] $\text{Funktion (streng) monoton fallend}$ $\gdw$ [/mm] $f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$
Bei Anwendung der Klammern (also mit "streng") musst Du das [mm] $\ge$ [/mm] bzw. [mm] $\le$ [/mm] ersetzen durch $>_$ bzw. $<_$ .
Wenn Du nun bei einer stetigen Funktion zeigst, dass sowohl monoton fallende als auch monoton steigende Intervalle existieren, kannst Du daraus die Existenz von Extremstellen folgern.
Gruß
Loddar
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Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Kann man in diesem Fall auch so argumentieren?:
Aus Symmetriegründen müsste f(x) 4 Extrema haben, damit das Grenzwertverhalten passt, doch nur Extrema wären maxmal möglch auf Grund des Grades der Funktion. Deswegen besitzt f(x) keine Extrema und somit im gefragten Intervall monoton steigend. (Streng, dann wenn f'(x) auch kene Nullstellen aufweist)
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
Ich verstehe Deine Argumentation mit der Symmetrie sowie den 4 Extrema nicht ganz.
Denn schließlich ist auch $f(x) \ = \ x$ punktsymmetrisch zum Ursprung und "extremfrei" (wie auch $f(x) \ = \ [mm] x^3$ [/mm] ).
Und im gegebenen Definitionsbereich ist die Ableitung von $f(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{\wurzel{4-x^2}}$ [/mm] überall positiv, damit die Funktion im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Extrema.
Gruß
Loddar
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Hallo,
vielen Dank! Ich habs auch dann so gemacht. Mir schwirrte nu im Kopf, dass man vom Grad einer Funktion auf die Anzahl der Extrema rükschließen kann.
Kann ich denn dann sagen, dass f(x) umkehrbar ist und zwar im kompletten fraglichen Intervall, indem auch f(x) defniert ist, da sie streng monoton steigend ist? Wäre sie nur m.fallende, sprich wenn sie Stellen [mm] x_i [/mm] hätte mit [mm] f'(x_i)=0, [/mm] dann wär sie doch nicht komplett umkehrbar oder?
Ich sitze mittlerweile am Berechnen der Umkehrfunktion... sitz da aber irgendwie auch auf dem Schlauch...
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
die Umkehrfunktion hab ch doch mittlerweile
ist [mm] f(x)=\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] die richtige Umkehrfunktion?
Liebe Grüße
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> ist [mm]f(x)=\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] die richtige Umkehrfunktion?
Yep ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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super..
vielern Dank
Gruß
Andreas
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Hallo Loddar!
vielen Dank für deine Geduld..
kann man auch beim Grenzwertverhalten einfach x und y vertauschen um das Grenzwertverhlten der Umkehrfunktion zu ermitteln?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2}f(x)=\infty
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\overline{f}(x)=2 [/mm] ?? geht das?
Wenn ich das mit Hilfe von l´Hospital mache komme ich nicht weiter:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\overline{f}(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] beides geht gegen [mm] \infty [/mm] also l´Hospital
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2*\wurzel{1+x^2}}{x} [/mm] wieder geht beides gegen [mm] \infty [/mm] also l´Hospital
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm]
wieso klappt hier der l´Hospital net... ich komm wieder auf die Ausgangsfkt.?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andreas!
> kann man auch beim Grenzwertverhalten einfach x und y
> vertauschen um das Grenzwertverhlten der Umkehrfunktion zu
> ermitteln?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2}f(x)=\infty[/mm] [mm]\gdw \limes_{x\rightarrow\infty}\overline{f}(x)=2[/mm] ?? geht das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schließich ist der Graph der Umkehrfunktion die Spieglung des Ausgangsgraphen an der Winkelhalbierenden.
> Wenn ich das mit Hilfe von l´Hospital mache komme ich nicht
> weiter:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\overline{f}(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
> beides geht gegen [mm]\infty[/mm] also l´Hospital
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2*\wurzel{1+x^2}}{x}[/mm]
> wieder geht beides gegen [mm]\infty[/mm] also l´Hospital
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
>
> wieso klappt hier der l´Hospital net... ich komm wieder auf
> die Ausgangsfkt.?
Tatsache ... dieses Phänomen ist mir ja bisher noch gar nicht untergekommen.
Aber es geht auch anders: Ausklammern!
[mm] $\overline{f}(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x}{\wurzel{x^2*\left(\bruch{1}{x^2}+1\right)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*x}{x*\wurzel{\bruch{1}{x^2}+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{\bruch{1}{x^2}+1}}$
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar!
vielen lieben Dank für deine super Hilfe und Geduld!
Liebe Grüße aus Essen
Andreas
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
$f'(x) \ [mm] \red{=} [/mm] \ 0$ reicht da noch nicht aus (Beispiel $f(x) \ = \ [mm] x^3$ [/mm] ).
