Monotonie-Aufgabe! < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 04.10.2005 | | Autor: | steph |
Hallo,
und zwar hätte ich folgende Frage, ich habe die FUnktion
f(x) = [mm] 3x^5-25x^3+60x-1
[/mm]
wenn ich die erste Ableitung mache dann habe ich
f´(x)= [mm] 15x^4-75x^2+60
[/mm]
Berechne ich die Nullstellen, bekomme ich für x1=2; x2=-2; x3= 1 und x4=-1 raus.
Zur Monotonie wenn ich es durch die Zeichnung bestimme, kann ich dann sagen, dass f streng monton steigend ist für x [mm] \in [/mm] ]- [mm] \infty;0 [/mm] ] und x [mm] \in [/mm] [0;4 ] und x [mm] \in [/mm] [4;0] und x [mm] \in [/mm] [0; + [mm] \infty [/mm] [
Kann mir einer sagen ob das stimmt ??
Besten Dank !!!
gruss
steph
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Hallo Steph,
> und zwar hätte ich folgende Frage, ich habe die FUnktion
> f(x) = [mm] 3x^5-25x^3+60x-1
[/mm]
>
> wenn ich die erste Ableitung mache dann habe ich
>
> f´(x)= [mm] 15x^4-75x^2+60
[/mm]
>
> Berechne ich die Nullstellen, bnekomme ich für x1=2; x2=-2;
> x3= 1 und x4=-1 raus.
>
richtig.
> Zur Monotonie wenn ich es durch die Zeichnung bestimme,
> kann ich dann sagen, dass f streng monton steigend ist für
> x = ...
Da stimmt was nicht. Du hast die Nullstellen der ersten Ableitung und weißt auch, dass diese für sehr große Zahlen auf jeden Fall positiv ist. Außerdem ist sie stetig, deshalb weißt du, dass
[mm]f'(x)>0[/mm] für [mm]x \in ]2, \infty[ [/mm] ist. Im Intervall davor muss sie negativ sein, davor wieder positiv, etc.
D.h. f ist streng monoton steigend für [mm]x \in ]-\infty,-2[ \cup ]-1,1[ \cup ]2, \infty[ [/mm] und streng monton fallend im "restlichen" Bereich.
Die f'(x) sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
mfg
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 04.10.2005 | | Autor: | steph |
$ x [mm] \in ]-\infty,-2[ \cup [/mm] ]-1,1[ [mm] \cup [/mm] ]2, [mm] \infty[ [/mm] $
Könntest du mir evtl. erklären, was du damit meinst?
Trotzdem schonmal vielen Dank für Deine Mithilfe, hast mir sehr weitergeholfen.
gruss
steph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 04.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo steph!
> [mm]x \in ]-\infty,-2[ \cup ]-1,1[ \cup ]2, \infty[[/mm]
>
> Könntest du mir evtl. erklären, was du damit meinst?
[mm]\cup[/mm] bedeutet "vereinigt", das bedeutet also:
für [mm]x \in ]-\infty,-2[[/mm] oder [mm]x\in ]-1,1[[/mm] oder [mm]x\in ]2, \infty[[/mm]
So besser? 
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Hi, steph,
hab' Deine Frage etwas "nachbearbeitet": Ich weiß, dass man anfangs etwas Probleme mit dem Formeleditor hat!
> f(x) = [mm]3x^5-25x^3+60x-1[/mm]
>
> wenn ich die erste Ableitung mache dann habe ich
>
> f´(x)= [mm]15x^4-75x^2+60[/mm]
>
> Berechne ich die Nullstellen, bekomme ich für x1=2; x2=-2;
> x3= 1 und x4=-1 raus.
Das sind aber NICHT die Nullstellen der Funktion (die kriegst Du wahrscheinlich nicht raus!), sondern die der Ableitung f'.
>
> Zur Monotonie wenn ich es durch die Zeichnung bestimme,
> kann ich dann sagen, dass f streng monton steigend ist für
> x [mm]\in[/mm] ]- [mm]\infty;0[/mm] ] und x [mm]\in[/mm] [0;4 ] und x [mm]\in[/mm] [4;0]
> und x [mm]\in[/mm] [0; + [mm]\infty[/mm] [
>
Wie Du mit den obigen Nullstellen von f' auf diese seltsamen Intervalle gekommen bist, weiß ich nicht! Sie stimmen natürlich nicht!
Schau Dir lieber mal Daniels Antwort an und vor allem die Zeichnung!
An dieser Zeichnung siehst Du, dass f'(x) > 0 ist
in den Intervallen [mm] ]-\infty; [/mm] -2[, ]-1; 1[ und [mm] ]2;+\infty[,
[/mm]
andererseits ist f'(x) < 0 in den Intervallen ]-2; -1[ und ]1; 2[.
Was nun Daniel allerdings übersehen hat ist, dass man
a) Monotonie-Intervalle nicht vereinigen darf und
b) die Ränder bei einer stetigen Funktion dazugenommen werden.
Daher gilt:
Der Graph Deiner Funktion steigt echt monoton in den Intervallen
[mm] ]-\infty; [/mm] -2] (abgeschlossen bei x=-2!) sowie [-1; 1] und [mm] [2;+\infty[,
[/mm]
er fällt echt monoton in den Intervallen [-2; -1] und [1; 2].
Achte dabei jeweils auf die Intervall-Klammern und darauf, dass alle 5 Intervalle GETRENNT zu betrachten sind.
(Problem: Laut Monotoniedefinition gilt für eine streng (=echt) monoton zunehmende Funktion: Ist [mm] x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}, [/mm] so muss immer auch [mm] f(x_{1}) [/mm] < [mm] f(x_{2}) [/mm] sein.
Vereinigst Du nun zwei getrennt liegende Intervalle, in denen f echt monoton zunimmt, kann es passieren, dass genau diese Eigenschaft nicht mehr zutrifft!)
mfG!
Zwerglein
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