Monotone Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $f:\IR \rightarrow \IR$, $f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{e^x-1}, & \mbox{für } x>0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $f\in L^1(\IR)$ [/mm] und [mm] $\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}. [/mm] |
Meine Idee:
[mm] $\forall [/mm] x>0$ ist [mm] $f_k(x)=x\cdot \sum_{j=1}^{k}e^{-jx}=\sum_{j=1}^{k}\bruch{1^j}{e^{-jx}}=\sum_{j=1}^{k}(\bruch{1}{e^{-x}})^j$. [/mm]
Diese Summe konvergiert für [mm] $k\in\IN$ [/mm] gegen [mm] $x\cdot\bruch{1}{e^x}\cdot\bruch{1-(\bruch{1}{e^x})^{k+1}}{1-\bruch{1}{e^x}}$. [/mm]
Dieser Quotient konvergiert für "k [mm] \rightarrow \infty" [/mm] gegen [mm] x\cdot \bruch{1}{e^x}\cdot\bruch{1}{1-\bruch{1}{e^x}}=\bruch{x}{e^x-1}=f(x)$.
[/mm]
[mm] $\forall x\le [/mm] 0$ ist [mm] $f_k(x)=0 \rightarrow [/mm] 0=f(x)$ für [mm] $k\rightarrow \infty$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f_k(x)$ [/mm] konvergiert punktweise gegen $f(x)$. Weil [mm] $f_1 [/mm] > [mm] f_2 [/mm] > [mm] f_3 [/mm] > ... [mm] \forall [/mm] k$ f. ü. auf [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $f_k \rightarrow [/mm] f$ f. ü. auf [mm] \IR [/mm] folgt mit dem Satz über monotone Konvergenz: $f$ integrierbar [mm] $\Rightarrow f\in L^1(\IR)$ [/mm] und:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}=\limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\infty}{f_k(x) dx}=\integral_{0}^{\infty}{\limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x) dx}.
[/mm]
Ist das bis hier hin richtig? Ich finde jetzt leider keinen Ansatz für die Berechnung des Integrals, also dass gilt:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}=\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Ich freue mich auf Eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Mo 23.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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