Monotone Funktion + Umkehrfkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Do 11.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
mich würde folgendes interessieren:
Sei $\ D [mm] \subset \IR [/mm] $ ein Intervall und $\ f:D [mm] \to \IR [/mm] $ eine monoton wachsende (oder fallende) Funktion.
Muss $\ f $ stetig sein, damit $\ D $ auf $\ D' = f(D) $ bijektiv abgebildet wird? Bzw muss $\ f $ stetig sein, damit die Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1}:D' \to [/mm] D$ existiert und ebenfalls streng monoton wachsend/fallend ist?
Kann ich also, wenn $\ f $ nicht zwangsläufig stetig sein muss, davon ausgehen, dass wenn $\ f $ monoton wachsend/fallend ist, die Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1} [/mm] $ existiert und ebenfalls streng monoton wachsend/fallend ist?
Freue mich über eine Antwort.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 11.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]\ D \subset \IR[/mm] ein Intervall und [mm]\ f:D \to \IR[/mm] eine
> monoton wachsende (oder fallende) Funktion.
Ich geh davon aus, dass wir hier von streng monoton wachsenden/fallenden Funktionen sprechen, sonst macht das Nachfolgende ja gar keinen Sinn.
>
> Muss [mm]\ f[/mm] stetig sein, damit [mm]\ D[/mm] auf [mm]\ D' = f(D)[/mm] bijektiv
> abgebildet wird?
> Bzw muss [mm]\ f[/mm] stetig sein, damit die
> Umkehrfunktion [mm]\ f^{-1}:D' \to D[/mm] existiert und ebenfalls
> streng monoton wachsend/fallend ist?
Nein. Streng monoton impliziert bereits injektiv, und auf $f(D)$ ist $f$ natürlich auch surjektiv. Also ist jede monotone Funktion bijektiv auf ihrem Bild.
> Kann ich also, wenn [mm]\ f[/mm] nicht zwangsläufig stetig sein
> muss, davon ausgehen, dass wenn [mm]\ f[/mm] monoton
> wachsend/fallend ist, die Umkehrfunktion [mm]\ f^{-1}[/mm] existiert
> und ebenfalls streng monoton wachsend/fallend ist?
Die Umkehrfunktion existiert auf dem Bild von $f$ und ist dort ebenfalls streng monoton wachsend/fallend!
Nur so nebenbei: monotone Funktionen sind automatisch stetig bis auf eine höchstens abzählbare Ausnahme-Menge (und damit Riemann-integrierbar auf kompakten Intervallen) und sogar Lebesgue-fast-überall differenzierbar.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Do 11.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Robert,
ja, ich meinte natürlich streng monoton wachsende/fallende Funktionen.
Vielen Dank für Deine Hinweise. Damit hätte sich alles geklärt.
Viele Grüße
ChopSuey
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