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seinen a>0 und [mm] x_{0}>0 [/mm] reelle Zahlen. Die folge ( [mm] x_{n} [/mm] ) n [mm] \ge [/mm] 1 sei rekursiv definiert durch:
[mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] x_{n} [/mm] + [mm] \bruch{a}{ x_{n} } [/mm] )für [mm] n\in \IN_{0} [/mm] .
Zeige:
a) die Folge ( [mm] x_{n} [/mm] ) ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x
b) es gilt x = [mm] \wurzel{a}
[/mm]
Bei a) habe ich die Idee zu zeigen:
[mm] \bruch{ \bruch{1}{2} (x_{n} + \bruch{a}{ x_{n} })}{ x_{n} } [/mm] <1
dann habe ich umformt bis [mm] \bruch{a}{ x_{n}^{2}} [/mm] <1
und wie kann ich zeigen [mm] a
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Es ist [mm] \bruch{1}{4}(x_{n}-\bruch{a}{x_{n}})^{2}>0, [/mm] da links eine Quadratzahl steht. Dieses umgeformt, ergibt [mm] x_{n+1}^{2}>a [/mm] für alle n. Beachte, dass [mm] x_{0} [/mm] beliebig ist. Also gilt die Ungleichung erst ab [mm] x_{1}, [/mm] was ja auch so in der Aufgabe steht
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aber ich komme nicht zu [mm] \bruch{1}{4}(x_{n}-\bruch{a}{x_{n}})^{2}>0 [/mm] ....
Haben Sie [mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_{n+1} [/mm] gemacht,oder?
Aber dann habe ich [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}-\bruch{a}{x_{n}})>0
[/mm]
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Es gilt stets diese Ungleichung, da Quadratzahlen stets [mm] \ge0 [/mm] sind.
Dann zweiter binomischer Satz, also ausklammern.
Dann auf beiden Seiten a addieren.
Dann linke Seite nach erstem binomischen Satz zusammenfassen. Definition von [mm] x_{n+1} [/mm] verwenden.
Damit ist [mm] x_{n+1}^{2} \ge [/mm] a gezeigt. [mm] (\ge [/mm] statt >, ich hatte mich vorhin vertan: die Quadratzahl, mit der man anfängt, könnte ja auch 0 sein)
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oh..das ist ja cool
Vielen Dankkkkkk
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