Monotnie beweisen bei Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Di 12.09.2006 | | Autor: | nina182 |
Hallo alle zusammen,
ich habe zwei folgen von denen ich nachweisen soll, dass die eine streng monton steigend, die andere streng monton fallend ist.
[mm] a_{n}=(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] soll steigend sein, also:
[mm] a_{n}
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}<(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}
[/mm]
[mm] b_{n}=(1-\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] soll fallend sein, also:
[mm] b_{n}>b_{n+1}
[/mm]
[mm] (1-\bruch{1}{n+1})^{n+1}>(1-\bruch{1}{(n+1)+1})^{(n+1)+1}
[/mm]
Der ansatz ist mir ja auch einleuchtend, aber ich habe keine ahnung wie ich sie umstellen soll, damit ich eine wahre aussage erhalte...
wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte...
danke schon mal
lg nina
PS: ich habe diese frage in keinem anderen forum gepostet.
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Es wird ein bißchen einfacher, wenn du [mm]a_{n-1} < a_n[/mm] für [mm]n \geq 2[/mm] zeigst, was ja auf dasselbe hinausläuft. Der Ansatz
[mm]\left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} < \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/mm]
läßt sich äquivalent umformen. Nur die wichtigsten Schritte:
[mm]\left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \left( \frac{n-1}{n} \right)^n > \frac{n-1}{n}[/mm]
[mm]\left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n > 1 - \frac{1}{n}[/mm]
Die Details der Rechnung seien dir überlassen. Die letzte Ungleichung gilt nun aufgrund der ![[]](/images/popup.gif) Ungleichung von Bernoulli.
Übrigens: Die Intervalle [mm]\left[ a_n , b_n \right][/mm] bilden eine Intervallschachtelung. Der gemeinsame Grenzwert der Folgen [mm](a_n), (b_n)[/mm] ist die Eulersche Zahl [mm]\operatorname{e}[/mm].
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