Monomorphismus < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 So 02.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe jetzt einmal auf Wikipedia nachgeschlagen, was einen Monomorphismus ausmacht:
Zitat:
Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] W, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
So, ich dachte, jetzt weiß ich, wie ein Monomorphismus aussieht und treffe auf einer anderen Seite auf ein Beispiel, das mein Verständnis wieder umwirft.
Kann mir jemand ein oder zwei Beispiele für einen Monomorphismus geben. Vielleicht auch zeigen anhand eines Beispieles, warum dies ein Mono... ist?
Wäre klasse.
MfG barsch
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Hallo barsch,
nimm zB. die Abbildung [mm] \phi:\IR^2\to\IR^3 [/mm] mit [mm] \phi\vektor{x\\y}=\vektor{x\\y\\x+y}
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist ein Homomorphismus, denn (1) [mm] \phi\left(\vektor{x_1\\y_1}+\vektor{x_2\\y_2}\right)=\phi\vektor{x_1\\y_1}+\phi\vektor{x_2\\y_2}
[/mm]
und (2) [mm] \lambda\phi\vektor{x\\y}=\phi\left(\lambda\vektor{x\\y}\right)
[/mm]
Das kannste schnell selbst nachrechnen... 
[mm] \phi [/mm] ist nicht surjektiv, denn was ist zB. das Urbild von [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] ?
[mm] \phi [/mm] ist aber injektiv, denn für [mm] \vektor{x_1\\y_1},\vektor{x_2\\y_2}\in\IR^2 [/mm] mit [mm] \phi\vektor{x_1\\y_1}=\phi\vektor{x_2\\y_2},
[/mm]
also [mm] \vektor{x_1\\y_1\\x_1+y_1}=\vektor{x_2\\y_2\\x_2+y_2} [/mm] folgt [mm] x_1=x_2, y_1=y_2 [/mm] und [mm] x_1+y_1=x_2+y_2, [/mm] also [mm] \vektor{x_1\\y_1}=\vektor{x_2\\y_2}
[/mm]
Nimm mal die Standardbasen des [mm] \IR^2 [/mm] und des [mm] \IR^3.
[/mm]
Dann lässt sich [mm] \phi [/mm] darstellen durch [mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\1&1 }
[/mm]
Die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren der Standardbasis des [mm] \IR^2
[/mm]
Berechne mal den Kern(A) und du wirst sehen, dass er nur aus dem Nullvektor besteht(, also ist [mm] \phi [/mm] injektiv)
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 So 02.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank für die ausführliche und sehr gute Erklärung.
So wird mir einiges klarer.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 03.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
was einen Monomorphismus ausmacht, habe ich verstanden - Danke!
Zu den anderen Morphismen kann ich jetzt aber auch keine Beispiele finden. Ich habe mir die Definitionen durchgelesen (![[]](/images/popup.gif) Wikipedia), aber das ist mir eben zu theoretisch. Wenn mir jemand zu den restlichen Morphismen je ein Beispiel geben würde, wäre das super; es muss auch nur ein Beispiel zu dem jeweiligen Morphismus sein. Warum das Beispiel dann gerade ein solcher Morphismus ist, kann ich dann versuchen mir selbst zu erschließen.
Betreffende Morphismen:
i) Epimorphismus
ii) Isomorphismus
iii) Endomorphismus
iv) Automorphismus
Danke
MfG barsch
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> Hi,
>
> was einen Monomorphismus ausmacht, habe ich verstanden -
> Danke!
>
> Zu den anderen Morphismen kann ich jetzt aber auch keine
> Beispiele finden. Ich habe mir die Definitionen
> durchgelesen
> (Wikipedia),
> aber das ist mir eben zu theoretisch. Wenn mir jemand zu
> den restlichen Morphismen je ein Beispiel geben würde, wäre
> das super; es muss auch nur ein Beispiel zu dem jeweiligen
> Morphismus sein. Warum das Beispiel dann gerade ein solcher
> Morphismus ist, kann ich dann versuchen mir selbst zu
> erschließen.
>
> Betreffende Morphismen:
>
> i) Epimorphismus
Die lineare Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W ist ist ja ein Epimorphismus, wenn sie surjektiv ist.
Das bedeutet, daß man durch die Abbildung jedes Element von W "erwischen" muß.
Also muß hier die Basis von V auf ein Erzeigendensystem von W abgebildet werden.
Beispiel [mm] f:\IR^3 \to \IR^2
[/mm]
[mm] f(e_1)=\vektor{1\\ 1}
[/mm]
[mm] f(e_2)=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] f(e_3)=\vektor{5 \\ 9}
[/mm]
> ii) Isomorphismus
Eine lineare Abbildung, welche gleichzeitig injektiv und surjektiv ist.
Das bedeutet, daß die Basis von V auf eine Basis von W abgebildet werden muß.
Beispiel [mm] f:\IR^3 \to \IR_{\le 2}[x]
[/mm]
[mm] f(e_1)=1
[/mm]
[mm] f(e_2)=x
[/mm]
[mm] f(e_3)=x^2
[/mm]
> iii) Endomorphismus
Das ist eine lineare Abbildung, bei welcher Start- und Zielraum gleich sind.
[mm] f:f:\IR^3 \to \IR^3
[/mm]
[mm] f(e_1)=\vektor{1 \\ 1\\1}
[/mm]
[mm] f(e_2)=\vektor{1 \\ 1\\1}
[/mm]
[mm] f(e_3)=\vektor{1 \\ 1\\1}
[/mm]
> iv) Automorphismus
Ein bijektiver Endomorphismus. Ein Isomorphismus zwischen zwei gleichen Räumen.
[mm] f:\IR_{\le 2}[x] \to \IR_{\le 2}[x]
[/mm]
f(1)=1
f(x)=x+1
[mm] f(x^2)=x^2+x+1
[/mm]
Gruß v. Angela
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